哈尔滨工程大学校际数学竞赛(专业组)大纲

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1、附件二哈尔滨工程大学数学竞赛(专业组)大纲高等数学竞赛专业组，内容涉及到数学系本科《数学分析》、《高等代数》课程所涵盖的各知识点，主要是单变量内容，具体内容如下:数学分析一、函数极限和连续性考试内容：考察考生对函数、极限概念的理解和掌握，函数极限的讨论和计算，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理)，并会应用这些性质。二、导数及其应用考试内容：函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质(单调性，凹凸性等)以及导数的应用(极值、最大值和最小值等)。三、一元函数积分考试内容：不定积分和定积分

2、的计算及证明，定积分的应用(面积、体积、引力)和广义积分。四、级数考试内容：数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、富里埃级数和富里埃变换。五、多元函数微分学考试内容：多元函数的极限与连续偏导数和全微分极值和条件极值、隐函数存在定理、函数相关六、多元函数积分学考试内容：含参变量的积分、含参变量的广义积分重积分的定义和性质重积分的计算及应用曲线积分和曲面积分的计算、各种积分间的联系和场论初步高等代数一、多项式考试内容：数域、多项式的因式分解定理、数域上多项式的分解理论及多元多项式的理论。二、行列式考试内容：行列式、行列式的性质、行列式的按行和按列的展开定理、

3、克兰姆法则、行列式的乘法法则。三、线性方程组及矩阵考试内容：向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组可解的判别定理及线性方程组解的结构定理。矩阵的运算、逆阵、分块阵、初等变换及初等矩阵。矩阵、矩阵的标准形、不变因子与初等因子、若当标准形的理论推导。四、二次型考试内容：二次型、二次型的标准形、正定二次型。五、线性空间及线性变换考试内容：线性空间、线性子空间、子空间的交与直和、线性空间的同构。线性变换及其运算、线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的对角化、线性变换的值域与核、不变子空间、若当标准形介绍。六、欧几里得空间考试内容：向量的内积、正交变换、对称矩阵

4、的标准形、酉空间介绍。注:主要参考书:《数学分析》、《高等代数》教材。参加对象：数学系大一年级（只参考所学内容）、高年级（全部内容）哈尔滨工程大学数学竞赛(非专业组)大纲高等数学竞赛理工科组，内容涉及到大学本科《高等数学》课程所涵盖的各知识点，主要是单变量内容，具体内容如下:高等数学一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；简单应用问题的函数关系的建立。函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。二、一元函

5、数微分学考试内容：导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数；导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；高阶导数一阶微分形式的不变性；微分中值定理；洛必达（L’Hospital）法则；函数单调性的判别函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数图形的描绘；函数最大值和最小值；弧微分；曲率的概念；曲率半径三、一元函数积分学考试内容：原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；定积分的概念和基本性质；定积分中值定理；积分上限的函数及

6、其导数；牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式；不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分；广义积分概定积分的应用。四、向量代数和空间解析几何 　　考试内容：向量的概念；向量的线性运算；向量的数量积和向量积；向量的混合积；两向量垂直、平行的条件；两向量的夹角；向量的坐标表达式及其运算；单位向量；方向数与方向余弦；曲面方程和空间曲线方程的概念；平面方程、直线方程；平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件；点到平面和点到直线的距离；球面；母线平行于坐标轴的柱面；旋转轴为坐标轴的旋转曲面的

7、方程；常用的二次曲面方程及其图形；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。五、多元函数微分学考试内容：多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数；方向导数和梯度；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线；多元函数的极值和条件极值；多元函数的最大值、最小值及其简单应用 六、多元函数积分学 　　考试内容：二重积分、三重积分的概念及性质；二重积分与三重积分的计算和应用；两类曲线积分的概念、性质

8、及计算；两类曲线积分的关系；格林（Green）公式；平面曲线积分与