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1、1999年全国高中联合竞赛试卷1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答加试一、(满分50分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。求证:∠GAC=∠EAC.解析:连结BD交AC于H.对△BCD用塞瓦定理,可得 因为AH是∠BAD的平分线,由角平分线定理,可得. 故. 过点C作AB的平行线AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交AE的延长线于J.则.所以, 从而,CI=CJ. 又因为CI∥AB,CJ∥AD,故∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ. 因此,△A
2、CI≌△ACJ. 从而,∠IAC=∠JAC,即∠GAC=∠EAC.二、(满分50分)给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足:,求
3、az1+bz2+cz3
4、的值。解析:记eiθ=cosθ+isinθ.可设,,则. 由题设,有eiθ+eiφ+e-i(θ+φ)=1.φ 两边取虚部,有 0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)1999年全国高中联合竞赛试卷 故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ,k∈Z. 因而,z1=z2或z2=z3或z3=z1. 如果z1=z2,代入原式即.故. 这时,
5、az1+bz2+cz3
6、=
7、z1
8、
9、
10、a+b±ci
11、 =. 类似地,如果z2=z3,则
12、az1+bz2+cz3
13、=;如果z3=z1,则
14、az1+bz2+cz3
15、=. 所以,
16、az1+bz2+cz3
17、的值为 或 或.三、(满分50分)给定正整数n,已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。(1)求k的最小值f(n);(2)当且仅当n取什么值时,上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。解析:(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak,且1≤a1≤a2≤…≤ak,ai∈Z,1≤i≤k.因为天平两端都可以放
18、砝码,故可称质量为xiai,xi∈{-1,0,1}.若利用这k块砝码可以称出质量为1,2,3,…,n的物品,则上述表示式中含有1,2,…,n,由对称性易知也含有0,-1,-2,…,-n,即 {xiai
19、xi∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±n}.1999年全国高中联合竞赛试卷 所以,2n+1=
20、{0,±1,…,±n}
21、≤
22、{xiai
23、xi∈{-1,0,1}}
24、≤3k, 即n≤ 设25、-1,其中yi∈{0,1,2}.则p-=yi3i-1-3i-1=(yi-1)3i-1. 令xi=yi-1,则xi∈{-1,0,1}. 故对一切-≤l≤的整数l,都有l=xi3i-1,其中xi∈{-1,0,1}. 由于n≤,因此,对一切-n≤l≤n的整数l,也有上述表示. 综上,可知k的最小值 f(n)=m·(26、l=xi3i-1+0·(3m-1); 若27、xi∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±}. 注意左边集合中至多有3m28、个元素.故必有 {xiai29、xi∈{-1,0,1}}={0,±1,…,±}.从而,对每个l,-≤l≤,都可以惟一地表示为 l=xiai,其中xi∈{-1,0,1}.因而,ai=.则 (xi+1)ai=xiai+ai=xiai+. 令yi=xi+1,则yi∈{0,1,2}. 由上可知,对每个0≤l≤3m-1,都可以惟一地表示为 l=yiai,其中yi∈{0,1,2}. 特别地,易知1≤a130、1=1. 假设当1≤i≤p时,ai=3i-1. 由于yiai=yi3i-1,yi∈{0,1,2}就是数的三进制表示,易知它们正好是0
25、-1,其中yi∈{0,1,2}.则p-=yi3i-1-3i-1=(yi-1)3i-1. 令xi=yi-1,则xi∈{-1,0,1}. 故对一切-≤l≤的整数l,都有l=xi3i-1,其中xi∈{-1,0,1}. 由于n≤,因此,对一切-n≤l≤n的整数l,也有上述表示. 综上,可知k的最小值 f(n)=m·(26、l=xi3i-1+0·(3m-1); 若27、xi∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±}. 注意左边集合中至多有3m28、个元素.故必有 {xiai29、xi∈{-1,0,1}}={0,±1,…,±}.从而,对每个l,-≤l≤,都可以惟一地表示为 l=xiai,其中xi∈{-1,0,1}.因而,ai=.则 (xi+1)ai=xiai+ai=xiai+. 令yi=xi+1,则yi∈{0,1,2}. 由上可知,对每个0≤l≤3m-1,都可以惟一地表示为 l=yiai,其中yi∈{0,1,2}. 特别地,易知1≤a130、1=1. 假设当1≤i≤p时,ai=3i-1. 由于yiai=yi3i-1,yi∈{0,1,2}就是数的三进制表示,易知它们正好是0
26、l=xi3i-1+0·(3m-1); 若27、xi∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±}. 注意左边集合中至多有3m28、个元素.故必有 {xiai29、xi∈{-1,0,1}}={0,±1,…,±}.从而,对每个l,-≤l≤,都可以惟一地表示为 l=xiai,其中xi∈{-1,0,1}.因而,ai=.则 (xi+1)ai=xiai+ai=xiai+. 令yi=xi+1,则yi∈{0,1,2}. 由上可知,对每个0≤l≤3m-1,都可以惟一地表示为 l=yiai,其中yi∈{0,1,2}. 特别地,易知1≤a130、1=1. 假设当1≤i≤p时,ai=3i-1. 由于yiai=yi3i-1,yi∈{0,1,2}就是数的三进制表示,易知它们正好是0
27、xi∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±}. 注意左边集合中至多有3m
28、个元素.故必有 {xiai
29、xi∈{-1,0,1}}={0,±1,…,±}.从而,对每个l,-≤l≤,都可以惟一地表示为 l=xiai,其中xi∈{-1,0,1}.因而,ai=.则 (xi+1)ai=xiai+ai=xiai+. 令yi=xi+1,则yi∈{0,1,2}. 由上可知,对每个0≤l≤3m-1,都可以惟一地表示为 l=yiai,其中yi∈{0,1,2}. 特别地,易知1≤a130、1=1. 假设当1≤i≤p时,ai=3i-1. 由于yiai=yi3i-1,yi∈{0,1,2}就是数的三进制表示,易知它们正好是0
30、1=1. 假设当1≤i≤p时,ai=3i-1. 由于yiai=yi3i-1,yi∈{0,1,2}就是数的三进制表示,易知它们正好是0
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