23平面向量的基本定理及坐标表示-基础

《23平面向量的基本定理及坐标表示-基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【要点梳理】要点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果石，瓦是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量方，有且只有一对实数人仏，使a=Alel+A2e2,称人弓+&勺为勺,勺的线性组合•①其中石，&叫做表示这一平面内所有向量的皋底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量舌，瓦的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果a=A]el+入勺且a-

2、+召勺，那么A=玩；入=■③当基底石,&是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2.如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合.（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的.（2）在解具体问

3、题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量勺、色，平面上的任何一“个向量。都可以用弓、勺唯一表示为d=入弓+入勺，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有石、&的代数运算.要点二：向量的夹角己知两个非零向量方与乙，在平面上任取一点0,作0A=a,0B=b,则ZAOB=^（0°<&M180°）叫做方与厶的夹角，记为〈方，b）.当向量方与乙不共线时，方与厶的夹角九（0°,180°）；当向量方与乙共线时，若同向，则&=0°；若反向，则&=180°,综上可知向量方与办勺夹角&e[0°9180°].当向量2与厶的夹角是90就说方与乙垂直，记作方丄庁.要点诠

4、释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题.（2）向量d丄b是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直.要点三：平面向量的坐标表示1.正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.要点诠释：如果基底的两个基向量石、&互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解,事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.2.平面向量的坐标表示丿作x,y,如图，在平面直角坐标系内，分别取与兀轴、轴方向相同的两个单位向量7、为基底，对于平面上的一个向量0,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得kx7+yj・这样，

5、平面内的任一向量方都可唯一确定，我们把有序数对（兀,y）叫做向量d的（直角）坐标，记作a=（x,y）,x叫做a在x轴上的坐标，y叫在y轴上的坐标.把a=（x,y）叫做向量的坐标表示.给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系.要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即a=b^>xl=x2且廿=力，其中a=(x[,y[b=(x29y2)・（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标

6、可以不同•比如,若A(2,3),B(5,8),则AB=(3,5)；若C(-4,3),D(-l?8),则CD=(3,5),亦=动，显然A、B、C、D四点坐标各不相同.（3）（x,y）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.要点四：平面向量的坐标运算1.平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运算坐标语言加法与减法记OA=(xi，yj,OB=(x2,y2)Q4+OB=(xi+x2，yi+y2),OB-OA=(x^x{,y2-yi)实数与向量的乘积记a=(x,y),则Aa=(Ax,Ay)2.如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐

7、标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算.在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等.（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系.（3）要注意用坐标求向