小学奥数_几何五大模型（蝴蝶模型)

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1、范文范例指导参考任意四边形、梯形与相似模型模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米

2、和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．(？？？)学习资料整理范文范例指导参考【例1】四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两

3、种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵，∴，∴．解法二：作于

4、，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【例2】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求的面积；⑵求的面积。【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，，所以，那么．学习资料整理范文范例指导参考【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【解析】在，中有，所以，的面积比为。同理有，的面积比为。所

5、以有×=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷。显然，最大的三角形的面积为21公顷。【例2】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为。【解析】连接、、。则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：．所以，所以．【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积。【解析】因为，且∥，所以，，．【例3】(2007

6、年人大附中考题)如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积．学习资料整理范文范例指导参考【解析】连接．因为，，所以．因为，根据蝴蝶定理，，所以．所以，即三角形的面积是．【例1】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．【解析】连接，．因为，，所以．因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．【例2】如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积．【解析】设与的交点为，连接、．由蝴蝶定理可知，而，，所以，故．学习资料整理范文范例指导参考由于为

7、中点，所以，故，．由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）．【例1】如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是．【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得设，根据共边定理我们可以得，，解得．【例2】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【解析】如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求

8、出阴影部分面积．连接、、．设的面积为”“，则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为．根据蝴蝶定理，，故，，学习资料整理范文范例指导参考所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)．学习资料整理范文范例指导参考板块二梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的