高考数学 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 突破点5 数列求和及其综合应用教学案

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1、突破点5　数列求和及其综合应用(对应学生用书第19页)[核心知识提炼]提炼1an和Sn的关系　若an为数列{an}的通项，Sn为其前n项和，则有an＝在使用这个关系式时，一定要注意区分n＝1，n≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.提炼2求数列通项常用的方法　(1)定义法：①形如an＋1＝an＋c(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．(2)叠加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式

2、．(3)叠乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通项公式．(4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解．(5)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解．(6)取对数法：形如an＋1＝pa(p>0，an>0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.提炼3数列求

3、和　数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法.提炼4数列的综合问题　数列综合问题的考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小．(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(3)考查与数

4、列有关的不等式的证明问题，此类问题大多还要借助构造函数去证明，或者是直接利用放缩法证明或直接利用数学归纳法．[高考真题回访]回访1　数列求和1．(2014·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an与bn；(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn.[解]　(1)由题意知a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8.又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，

5、2分所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)，所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*).5分(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝－(n∈N*).7分②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn＝，9分而－＝>0，得≤<1，11分所以，当n≥5时，cn<0.综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.14分回访2　数列的综合问题2．(2017·浙江高考)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，(1)0<

6、xn＋10.当n＝1时，x1＝1>0.假设n＝k时，xk>0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则00.3分因此xn>0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1.因此0

7、n(1＋xn＋1)得xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1).7分记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)，f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤(n∈N*).10分(3)证明：因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥.由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，13分所以－≥2≥…≥2n－1＝2

8、n－2，故