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时间:2019-01-13
《高考数学 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 突破点5 数列求和及其综合应用教学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、突破点5 数列求和及其综合应用(对应学生用书第19页)[核心知识提炼]提炼1an和Sn的关系 若an为数列{an}的通项,Sn为其前n项和,则有an=在使用这个关系式时,一定要注意区分n=1,n≥2两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一起.提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法:①形如an+1=an+c(c为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如an+1=kan(k为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列.(2)叠加法:形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),求其通项公式
2、.(3)叠乘法:形如=f(n)≠0,利用an=a1···…·,求其通项公式.(4)待定系数法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=,再转化为等比数列求解.(5)构造法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先在原递推公式两边同除以qn+1,得=·+,构造新数列{bn},得bn+1=·bn+,接下来用待定系数法求解.(6)取对数法:形如an+1=pa(p>0,an>0),先在原递推公式两边同时取对数,再利用待定系数法求解.提炼3数列求
3、和 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减法是常用的两种方法.提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种:(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者是借助数列对应函数的单调性比较大小.(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题.非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(3)考查与数
4、列有关的不等式的证明问题,此类问题大多还要借助构造函数去证明,或者是直接利用放缩法证明或直接利用数学归纳法.[高考真题回访]回访1 数列求和1.(2014·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;(2)设cn=-(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn;②求正整数k,使得对任意n∈N*,均有Sk≥Sn.[解] (1)由题意知a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6,知a3=()b3-b2=8.又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),
5、2分所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N*),所以,a1a2a3…an=2=()n(n+1).故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).5分(2)①由(1)知cn=-=-(n∈N*),所以Sn=-(n∈N*).7分②因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当n≥5时,cn=,9分而-=>0,得≤<1,11分所以,当n≥5时,cn<0.综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.14分回访2 数列的综合问题2.(2017·浙江高考)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).证明:当n∈N*时,(1)0<
6、xn+10.当n=1时,x1=1>0.假设n=k时,xk>0,那么n=k+1时,若xk+1≤0,则00.3分因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.因此07、n(1+xn+1)得xnxn+1-4xn+1+2xn=x-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).7分记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),f′(x)=+ln(1+x)>0(x>0),函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此x-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,故2xn+1-xn≤(n∈N*).10分(3)证明:因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥.由≥2xn+1-xn得-≥2>0,13分所以-≥2≥…≥2n-1=28、n-2,故
7、n(1+xn+1)得xnxn+1-4xn+1+2xn=x-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).7分记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),f′(x)=+ln(1+x)>0(x>0),函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此x-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,故2xn+1-xn≤(n∈N*).10分(3)证明:因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥.由≥2xn+1-xn得-≥2>0,13分所以-≥2≥…≥2n-1=2
8、n-2,故
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