高中数学 第一单元 基本初等函数（ⅱ）疑难规律方法学案 新人教b版必修4

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1、第一单元基本初等函数（Ⅱ）1　同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用.一、知一求二型例1　已知sinα＝，≤α≤π，则tanα＝_____________________.解析　由sinα＝，且sin2α＋cos2α＝1，得cosα＝±，因为≤α≤π，可得cosα＝－，所以tanα＝＝－2.答案　－2点评　已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的

2、限制，要注意分类讨论.二、“1”的妙用例2证明：＝.证明　因为sin2x＋cos2x＝1，所以1＝(sin2x＋cos2x)3，1＝(sin2x＋cos2x)2，所以＝＝＝＝.即原命题得证.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。点评　本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.三、齐次式型求值例3已知tanα＝2，求值：(1)＝________；(2)2sin2α－3cos2α＝________

3、.解析　(1)因为cosα≠0，分子分母同除以cosα，得＝＝＝－1.(2)2sin2α－3cos2α＝，因为cos2α≠0，分子分母同除以cos2α，得＝＝＝1.答案　(1)－1　(2)1点评　这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式.(2)因为cosα≠0，所以分子、分母可同时除以cosnα(n∈N＋).这样可以将所求式化为关于tanα的表达式，整体代入tanα＝m的值求解.2　单调不“单调”，应用很“奇妙”三角函数的

4、单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助.一、信心体验——比较大小例1比较cos，sin，－cos的大小.解　因为sin＝cos(－)＝cos，－cos＝cos，又0<<<<，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，所以cos>cos>cos，即－cos>sin>cos.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重

5、视和支持。点评　比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行.①将不同名的三角函数化为同名三角函数；②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小.③由单调性得出各值的大小关系.二、重拳出击——求解最值例2　已知f(x)＝sin(2x－)，x∈R.求函数f(x)在区间[，]上的最小值和最大值.解　因为当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)＝sin(2x－)单调递增；当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数单调递减，所以f(x)＝sin(2x－

6、)在区间[，]上为增函数，在区间[，]上为减函数.又f()＝0，f()＝，f()＝－1.故函数f(x)在区间[，]上的最大值为，最小值为－1.点评　求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是考试中经常出现的考点，解题过程中要注意将ωx＋φ看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.三、触类旁通——解不等式例3若0≤α<2π，sinα>cosα，求α的取值范围.解　当α＝时，不等式成立，当α＝时，不等式不成立.当α∈[0，)∪(，2π]时，cosα>0，则原不等式可化为tanα>，根据正切函数的单调性得，<α<；同理可得，当α∈(，

7、)时，<α<.综上，α的取值范围是(，).点评　利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。3　善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是________.解析　在同一坐标系中画出y＝sinx，y＝cosx，x∈(0，2π)的图象如图.由图知，x∈(，).答案　(，)点评　求解三角函数的方程、不等式时，

8、通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例2证明：＝(