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时间:2019-01-12
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1、几种判定函数单调性的方法 摘要:函数的单调性是函数的一种重要性质,是函数学习中的重要与难点知识。本文主要介绍了几种判定函数单调性的方法。 关键词:函数;单调性;判定 在高中函数知识学习中,我们经常需要判定函数的单调性。由于这类题型十分抽象,综合性很强,我们在解题过程中经常难以理解题意,无法掌握数学符号、数学语言间的内在联系。因此,笔者总结了函数学习中几种判定函数单调性的方法,以供参考。 一、利用复合函数判定 定理1:若函数f(x)在区间I1上、g(x)在区间I2上都有单调性,且g(I2)
2、?奂I1,则: (1)f(x)、g(x)单调性相同时,f[g(x)]在I2上单调递增。 (2)f(x)、g(x)单调性相反时,f[g(x)]在I2上单调递减。 例1讨论函数y=log0.2(x2-5x+4)的单调性。 解:∵函数的定义域为(-∞,1)∪(4,+∞),令y=log0.2u,u=x2-5x+4, ∴y=log0.2u为减函数,u=x2-5x+4在区间(-∞,1)上为减函数,y=log0.2(x2-5x+4)在(-∞,1)上为增函数。 又∵u=x2-5x+4在区间(4,+∞)
3、上为增函数, ∴y=log0.2(x2-5x+4)在(4,+∞)上为减函数。3 复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础,而中学数学中的简单函数均是初等函数,因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础。若能对各种初等函数的图象了如指掌,则对复合函数的单调性的判定将大有裨益。我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性,判定它的单调区间和函数值域,再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性。 二、利用反函数关系判定 我们知道,一个函数若为严格增(或减)函数,则其反函数也为严格增
4、(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。 定理2:若函数y=f(x)与y=g(x)互为反函数,且y=f(x)在区间I上为单调函数,那么y=g(x)在区间I上也为单调函数。 例2讨论反余弦函数y=arccosx的单调性。 解:∵余弦函数y=cosx在区间[0,π]上的反函数为y=arccosx,且y=cosx在区间[0,π]上为单调减函数。 ∴y=arccosx在区间[-1,1]上为单调减函数。 三、利用奇、偶函数的性质判定 定理3:奇、偶函数有以下两点性质: (1)在
5、以原点对称的区间上奇函数的单调性相同。 (2)在以原点对称的区间上偶函数的单调性相反。 奇函数、偶函数的单调性的对称规律,在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大。对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,应利用图象的对称性将自变量划归到同一个单调区间,然后根据单调性判断。3 例3若在区间[-5,-3]上奇函数f(x)为增函数,且最大值为-4,则f(x)在x∈[3,5]上为() A.f(x)为增函数,最大值为4 B.f(x)为增函数,
6、最小值为4 C.f(x)为减函数,最大值为4 D.f(x)为减函数,最小值为4 解:根据题意可得f(-3)=-4,且由奇函数的单调性可知,在区间[3,5]上f(x)为增函数,f(3)为最小值,则f(3)=-f(-3)=4,所以选B。 四、利用倒函数判定 定理4:若正(或负)值函数f(x)为增(或减)函数,那么其倒函数在公共定义域内为减(或增)函数。 总之,在高中数学学习中,函数单调性的判定是重点与难点知识,我们必须掌握好判定函数单调性的方法,这样才能为函数的学习打下良好基础。本文主要利
7、用了复合函数、反函数的关系、奇函数和偶函数的性质、倒函数、导数来判定函数的单调性,这些都是我们必须掌握的基础知识。 参考文献: 1.吕秀娟.函数单调性的应用[J].教育教学论坛,2013,(40):89-90. 2.王芳,王平.函数单调性判定定理的推广[J].湖南文理学院学报:自然科学版,2015,(02):5-9. (作者单位:山东省济宁市泗水县第一中学)3
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