ceva定理在线共点问题上的应用

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1、Ceva定理在线共点问题上的应用　　【摘要】本文利用向量法和坐标法证明Ceva定理，并进一步推广，使其也适用于过三角形三顶点的三线交点在三角形外这种情况，并且予以证明，最后我们利用Ceva定理解决三线共点问题.　　【关键词】Ceva定理；向量法；坐标法；线共点　　一、引言　　线共点问题在解析几何中是比较常见，也是比较难的一类问题，对于解决这类问题的方法有很多种，例如向量法、坐标法、解析法等等.本文介绍另外一种方法――应用Ceva定理来证明.　　Ceva定理是由意大利水利工程师、数学家GiovanniCev

2、a提出的，并且于1678年发表在《直线论》中.Ceva定理是关于过三角形的三个顶点的三条直线位置关系的一个定理，它在证明三线共点方面有着非常重要是作用，尤其是应用在关于三角形中三条中线共点、三条高共点等问题上是非常简单方便的.虽然在解析几何中没有介绍，但是我们做题或看一些资料的时候会有所接触，因此本文就此定理和他的应用做一简单的介绍.　　我们在证明Ceva定理时需要用到下面的定理：　　定理在平面上三条直li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）共点的充要条件是A1B1C1A2B2C2A3B3C3=0

3、.　　二、Ceva定理　　Ceva定理：如图1，在△8ABC的三边AB，BC，CA上有三点P，Q，R，使得APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，则AQ，BR，CP三线共点的充要条件是λμγ=1.　　这里要注意一下Ceva定理中的线段为有向.　　分析Ceva定理内容是关于三线共点的，而证明三线共点方法有很多种，比如先设两线交与一点再证第三条直线过其交点，或证三条直线都过共同的一点或利用向量法来证明等等.在这里我们利用向量法和坐标法来证，首先看向量法，我们让AQ，BR两条直线交于一点O1，让AQ，CP两条

4、直线交于一点O2，证明O1，O2两点重合即AO1=AO2.其次对于坐标法，我们把平面上的线共点问题转换为在放射坐标系下的点的坐标、直线度方程的计算问题.对于这两种方法来说，第二种方法思路简洁，方法直观，学生更容易掌握.下面我们就用这种两种方法来证明.　　证明方法一：　　设AQ，BR交于点O1，AQ，CP交于点O2，AB=e1，AC=e2，并且由条可知λ，γ，μ都不为-1，　　∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，　　∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，　　即AP=λλ+1AB，BQ=μμ+1

5、BC，CR=γγ+1CA.　　∵AO1=nAQ=nAB+BQ=n（AB+μμ+1BC）　　=n[AB+μμ+1（AC-AB）]=nμ+1AB+nμμ+1AC，BO1　　=mBR=m（BC+CR）=mAC-AB+γγ+1CA　　=mγ+1AC-mAB.　　又∵AB=AO1+O1B，8　　∴AB=nμ+1AB+nμμ+1AC-mγ+1AC+mAB.　　即nμ+1+m-1AB+（nμμ+1-mγ+1）AC=0.　　由于AB，AC不共线，　　所以nμ+1+m-1=0nμμ+1-mγ+1=0，解得n=μ+1μ+1+

6、μrm=μ+μγμ+1+μγ，　　∴AO1=1μ+1+μγAB+μμ+1+μγAC.　　同理可知AO2=pμ+1AB+pμμ+1AC，　　CO2=λqλ+1AB-qAC.　　∵AC=AO2+O2C，　　∴AC=pμ+1AB+pμμ+1AC-λqλ+1AB+qAC，　　即pμ+1-λpλ+1AB+pμμ+1+q-1AC=0.　　由于AB，AC不共线，　　所以pμμ+1+q-1=0pμ+1-λqλ+1=0，解得q=λ+1λ+1+λμp=λ+λμλ+1+λμ，　　∴AO2=λλ+1+λμAB+λμλ+1+λμA

7、C.　　若AQ，BR，CP三线交于一点时，则AO1=AO2，　　即λλ+1+λμ=1μ+1+μγλμλ+1+λμ=μμ+1+μγ.　　可得λμγ=1；　　若当λμγ=1时，可得到AO1=AO2，则AQ，BR，CP三线交于一点因此，AQ，BR，CP线共点λμγ=1.定理得证.　　方法二：建立放射坐标系{A；AB，AC}，　　则A（0，0），B（1，0），C（0，1），8　　∵APPB=λ，BQQC=μ，CRRA=γ，　　∴AP=λPB，BQ=μQC，CR=γRA，　　即AP=λλ+1AB，AR=1γ+1AC

8、，BQ=μμ+1BC，　　∴AP=AB+BQ=AB+μμ+1BC=AB+μμ+1（AC-AB）=1μ+1AB+μμ+1AC，　　∴Pλλ+1，0，Q1μ+1，μμ+1，R0，1γ+1，　　即线段AQ，BR，CP所在直线方程分别为：μx-y=0；x+（γ+1）y-1=0；（λ+1）x+λy-λ=0.　　∴μ-101γ+1-1λ+1λ-λ=-λμ（γ+1）+λ+1+λμ-λ=-λμγ+1.　　由定理1可知，若AQ，BR，CP三线共