浅谈微积分对现代科学的影响

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1、浅谈微积分对现代科学的影响　　摘要：从微积分的发展历史及各发展阶段数学家对微积分所引起的不同争论，来阐述微积分的发展对整个自然科学的发展所起的影响。　　关键词：微积分牛顿莱布尼兹极限　　1.数学对自然科学的影响　　数学是自然科学的基础学科，自然科学的发展离不开数学的发展。尤其是数学中的微积分理论，对整个自然科学的发展起了极大的推动作用，为自然科学中一些现象的解释提供了坚实的理论基础，使有限和无限、连续和离散、代数和几何形成了有机的结合与统一。在数学的众多学科分支中，就严谨性、应用性和简洁性而言，微积分应是最具代表性的学科之一。微积分以简洁、

2、优美的形式把运动学问题、磁场问题、几何中曲线的切线问题、函数中最值问题、曲线长度及曲面面积和立体体积问题总结于一个高度统一的理论体系之中。因而，这一理论的产生被誉为数学史上乃至人类文明史上的伟大创造，受到历代数学家、物理学家、哲学家的盛赞。如果我们对其历史和现状作一番认真的考究，追溯这一理论产生的历史，将会使我们更深刻的认识到数学对自然科学发展所起的深刻影响。于此，微积分提出之后，遭到了许多人的猛烈抨击，其中也包括一些著名的数学家。牛顿继承和总结了先辈们的思想，作出了自己独到的建树。他把自己的发现称为“流数术”，称连续变化的量为流动量，无限

3、小的时间间隔为瞬，而流量的速度称为流动率或流数。牛顿的“流数术”9就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学，主观唯心论哲学家贝克莱是抨击微积分理论最强有力的人物。他愤恨牛顿的微积分理论给唯物论以支持，于是向流数术展开了猛烈的攻击。1734年，贝克莱出版了一本书:《分析学家:或一答致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘，教义的主旨有更清晰的陈述，或更明确的推理。　　2.关于微积分的本原问题　　2．1微积分使极限理论更加成熟　　我们知道微积分的基础是极限论，而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的，牛顿的瞬

4、和流数，莱布尼兹的dx和dy究竟是什么含义?在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义，在运用时也显得前后不一。牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时，有时视瞬或dx为无限小增量，而有时视之为一个有限量加以运算，甚至把它作为零而忽略不计，这就在逻辑上造成明显的矛盾。牛顿曾用有限差值的最初比和最终比――一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。但是当差值还未达到零时，其比值不是最终的，而当差值达到零时，它们比是0。怎样理解这样的最终比，牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明，而不是正确的论证。”而莱布尼兹的微积分论文发表以后，连当时在数学上颇有造诣的数

5、学家象Bernoulli兄弟也颇感费解:“与其说有一种说明，还不如说是一个谜。”究竟极限是什么?无穷小是什么?在今天很容易理解。但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。基极限思想在当时也散见于各个时代著作中，如中国《庄子?天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”9等和极限思想有直接关系，但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪，许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值，在回击来自数学界内外的攻击同时，竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化，在形式更趋完美。在十八世纪前期，许多数学家，尤

6、其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来，他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的，打破这一僵局的大数学家欧拉，他以代数方式研究微积分，力图用形式演算方式代替累赘的几何语言，使微积分建立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念，并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限理论作为微积分的理论基础，这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到1821年以后，柯西出版他的《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具划时代意义的名著之后，微积分一系列基础概念及理正

7、式明确地确定下来。自此以后，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上―极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义或年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的-方法，形成了微积分的严谨之美。　　2．2微积分―――状态与过程的统一　　微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力，过去许多数学家束手无策的问题，至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，

8、并且也表明过程:运动。”9然而，在十九世纪以前，微积分理论历史发展始终包含着矛盾:一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就；另一方面则是基础理论的含糊性。事实