数值分析法--曲线拟合法、插值建模法

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1、数值分析法相关知识在生产和科学实验中，自变量与因变量间的函数关系有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。曲线拟合法已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其

2、图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值，这一过程称为曲线拟合。曲线拟合的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其他的数学方法确定经验公式中的参数。对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分为三步进行：(1)、确定经验公式的形式：根据系统和测定的数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。（2）、确定经验公式中的待定系数：计算待定系数的方法有许多常用的法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。（3）、检验：求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论数据作比较，验证经验公式的正确性，必

3、要时还要修正经验公式。关于确定经验公式的形式，可从以下几个方面入手：（1）、利用已知的结论确定经验公式形式，如由已知的胡克定律可以确定在一定条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。（2）、从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。（3）、描点作图法：将已知的点用光滑的曲线连接起来，寻找曲线的形式。（4）、多项式近似、线性插值或样条插值等。多项式近似是工程中十分常见的方法，它首先需要确定多项式的次数，一般可以用差分法、差商法来估计。<一>、差分方程法<1>、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散

4、变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。(1)、说明：差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。(2)、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群

5、的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。<2>、基本知识：基本概念1、差分算子：设数列，定义差分算子为在处的向前差分，而为在处的向后差分。（以后我们都是指向前差分），可见是的函数。从而可以进一步定义的差分：称之为在处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。类似可定义在处的阶差分为：2、差分算子、不变算子、平移算子：记，称为平移算子，为不变算子。则有：由上述关系可得：（1）这表明在处的阶差分由在，处的取值所线性决定。反之，由得：，

6、得：,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内的k+1项增量的增量的增量……..第k层增量所构成。……..得：（2）可以看出：可以由的线性组合表示出来1、差分方程：由以及它的差分所构成的方程（3）称之为k阶差分方程。由（1）式可知（3）式可化为：（4）故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列任意一项与其前，前面k项之间的关系）。由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的，我们经常用的差分方程的形式是（4）式。2、差分方程的解与有关概念：（1）、如果使阶差分方程（4）对所有的成立

7、，则称为方程（4）的解。（2）、如果（为常数）是（4）的解，即则称为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不只一个。平衡解的基本意义是：设是（4）的解，考虑的变化性态，其中之一是极限状况，如果，则方程（4）两边取极限（就存在在这里面），应当有（3）、如果（4）的解使得既不是最终正的，也不是最终负的，则称为关于平衡点是振动解。（4）、如果令：，则方程（4）会变成（5）则成为（5）的平衡点。（5）、如果（5）的所有解是关于振动的，则称阶差分方程（5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于非振动的，则称阶差分方程（5）是非振动方程。（6）、如果（5）有解，使得