高中数学 第一章 统计 1_8 最小二乘估计知识导航 北师大版必修31

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1、§8　最小二乘估计知识梳理1.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.2.要想用回归直线来刻画两个变量的相关关系,应保证这条直线与所有点都近.一般用离差的平方和,即［y1-(a+bx1)］2+［y2-(a+bx2)］2+…+［yn-(a+bxn)］2来刻画所有点与直线y=ax+b的接近程度,使得上式达到最小值的直线y=ax+b就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法,这样得到的直线方程称为线性回归方程,a、b叫做回归系数.知识导学若两个变量之间存在相关关系,往

2、往也需要我们去寻找这些变量间的数量关系式.回归分析就是寻找这类不完全确定的变量间的数学关系式,并进行统计推断的一种方法.在这种关系式中,最简单的是线性回归.因为两个变量如果是线性相关的,我们就可以用一条直线来近似找到两个变量间的数量关系,但这样的直线不止一条.如果有一条直线与散点图上的所有的点的距离最小,我们就把这条直线称为回归直线,相应的方程称为线性回归方程.求线性回归的常用方法就是最小二乘法.线性回归分析涉及大量的计算,形成操作上的一个难点,可以利用计算机非常方便地作散点图、趋势线、回归直线,并能求出直线的回归方程.求回归直线方

3、程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义.疑难突破1.最小二乘法及其原理剖析:(1)最小二乘法用不同估算方法都可以描述两个变量线性相关的关系,我们希望最科学的描述方法,是要保证这条直线与所有点都近.最小二乘法就是基于这种想法.如果n个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度:［y1-(a+bx1)］2+［y2-(a+bx2)］2+…+［yn-(a+bxn)］2.使得上式达到最小值的直线y=a

4、x+b就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.(2)最小二乘法的原理假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),且设所求回归直线方程是y=bx+a,其中a、b是待定参数.当变量x取xi(i=1,2,…,n)时,可以得到=bxi+a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的yi之间的偏差是:yi=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n).(如图1-8-1所示)图1-8-1这样,用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于(yi-)可正可负,为了避

5、免相互抵消,可以考虑用来代替,但由于它含有绝对值,运算不太方便,所以改用:Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.这样问题就归结为:当a、b取什么值时Q最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算,a、b的值就可以确定.通过求Q的最小值,而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.2.求两个变量间的线性回归方程的过程和步骤剖析:一般地,设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应于n组观测值的n个点大致分

6、布在一条直线的附近,我们来求在整体上与这n个点最接近的一条直线.设所求的直线的方程为=bx+a,①其中a、b是待确定的参数.于是,当变量x取一组数值xi(i=1,2,…,n)时,相应地=bxi+a(i=1,2,…,n).于是得到各个偏差yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n).容易看到,上面各个偏差的符号可能有正有负,如果将它们相加会造成相互抵消,因此它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度.为了解决这一问题,我们采用n个偏差的平方和,即Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a

7、)2②来表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.于是我们的问题是如何求得系数a、b,使Q取得最小值.为了书写方便,我们先引进一个符号“∑”.这个符号是表示将若干个数相加,其英文名称是“sigma”,中文读作“西格马”.例如,可将x1+x2+…+xn记作,i从1到n,即表示从x1加到xn的和.这样,n个数的平均数的公式可以写作上面的②式可以写作Q=③这个式子展开后,是一个关于a、b的二次多项式.利用配方法,可以导出使Q取得最小值的a、b的求值公式求线性回归方程的步骤是:(1)作出散点图;(2)列表求出(可以用科学计算器进行计算)

8、(3)利用公式b=和a=-b求出回归系数;(4)写出线性回归方程.典题精讲例1　有一位同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表:摄氏温度(