解线性方程组的预条件aor迭代法分析

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1、解线性方程组的预条件AOR迭代法分析　　【摘要】自然科学的诸多领域的许多问题最终都转化为大型线性方程组的求解，而这些方程组的求解一般采用迭代法。对迭代法而言，当迭代矩阵的谱半径小于1时，谱半径越小其收敛速度越快，有效降低迭代矩阵谱半径的方法就是对线性方程组本身进行预处理。因此预条件方法成为一个热点问题。本文对几个预条件AOR迭代法进行程序实现，并对结果进行分析。　　【关键词】线性方程组迭代解法预条件方法AOR方法谱半径　　【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（201

2、6）11-0194-01　　AnalysisofPreconditionedAORIterativeMethodsinSolvingLinearSystems　　ZHAOQiu-Xia.　　（DepartmentofAppliedMathematics，YunchengUniversity，Yuncheng，044000）　　【Abstrct】Thesolutionsofmanyproblemsinthefieldofnaturalscienceareeventuallyturnedintothe

3、solutionsoflargelinearsystems.Generally，thelinearsystemsaresolvedbyiterativemethods.Thesmalleritis，thefasterthemethodconvergesforiterativemethodwhenthespectralradiusofthe5iterativematrixissmallerthan1.Theeffectivemethodtodecreasethespectralradiusofite

4、rativematricesistopreconditionlinearsystems.Therefore，thestudyofthepreconditionedmethodsisahottopic.Inthisthesis，somepreconditionedAORiterativemethodsareimplementedbycomputerprogramsandtheresultsarecomparedwithbasiciterativemethods.　　【Keywords】Linears

5、ystems;Iterativesolution;Preconditionedmethods;AORmethod;Spectralradius.　　1.引言　　数学、物理、流体力学和工程技术等领域中许多问题的解决，最终都转化为大型线性方程组　　（1.1）　　的求解[1，2，3]，其中非奇异，是已知的，是未知的.对大型线性方程组的求解通常采用迭代解法，常用的包括AOR迭代法，SOR迭代法等[2].用迭代法求解线性方程组时要考虑迭代法的收敛性，通常用迭代矩阵的谱半径来判断[2，3，4，5].当迭代法收

6、敛时，还要考察其收敛速度，其收敛速度越快越好，为了减小迭代矩阵的谱半径，常对原方程组进行预条件处理，此类方法称为预条件方法.　　预条件方法的主要思想是在方程组（1.1）两端同时左乘一个非奇异矩阵（称为预条件因子），将方程组（1.1）转化为同解方程组　　，（1.2）　　使得将上述迭代法应用于方程组（1.2）时迭代矩阵有较小的谱半径.5　　文[3]的作者提出了下面两种预条件因子，并在理论上证明了预条件的有效性，本文对在这两种预条件因子作用下的预条件AOR迭代法进行程序实现和算例分析.　　1），相应的预

7、条件AOR迭代法的迭代矩阵记为.　　2），其中为正实数，相应的预条件AOR迭代法的迭代矩阵记为.　　2.预条件AOR迭代法的程序实现与算例分析　　对算例2.1[2]进行MATLAB编程实现.取初值，用AOR迭代法和预条件AOR迭代法均得到方程组（2.1）的精确解　　记分别为用基本AOR迭代法，预条件因子为的预条件AOR迭代法所用的迭代次数，见表2.1及2.2.　　算例2.1[2]　　考虑线性方程组：　　（2.1）　　其中系数矩阵A是非奇异且不可约M-矩阵[3].　　表2.1：预条件因子为的情形　　

8、加速因子松弛因子　　0.30.50.30.6819540.672750　　0.70.910.3575240.303717　　0.8110.2578190.205414　　1110.1636160.137810　　1.21.210.2000110.311512　　1.71.710.7000430.88481165　　1.91.910.90001451.1120溢出　　表2.2：预条件因子为的情形　　加速因子松弛因子　　0.30.50.40.6819540.654946　　0.70.9