立体几何重点知识与题型分析

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1、立体几何重点知识与题型分析　　一、面积、体积和距离的计算　　重要知识　　类型名称侧面积表面积体积备注柱体圆柱S侧=2πrhS侧=2πrh　　+2πrV=πr2hr是底面半径　　h是圆柱的高棱柱S侧=ch　　（直棱柱）S侧=ch′　　（正棱柱）S全=S侧　　+2S底V=Shc为底面的周长　　h′为斜高　　S为底面积　　h为几何体的高锥体圆锥S侧=πrlS侧=πrl　　+πr2V=13πr2hr是底面半径　　l是母线长棱锥各侧面　　积之和各面面　　积之和V=13ShS为底面积　　h为几何体的高球S球=4πR243πR3R为球的半径题型分析　　例1（1）如图，长方体A

2、BCDA1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A1的体积为V2，则V1V2的值为.　　（2）已知圆锥的底面半径为1，高为22，则该圆锥的侧面积为.7　　解析：（1）设AB=a，AD=b，A1A=c.　　则V1=13S△ABD?12A1A=abc12.　　V2=13SADD1A1?12AB=abc6.∴V1V2=12.　　（2）∵底面半径为1，高为22，母线长　　l=（22）2+12=3，∴圆锥的侧面积为：　　S侧=12?2πr?l=12×2π×1×3=3π，故该圆锥的侧面积为3π.　　评注：三棱锥体积的计算，只需找到合适

3、的顶点和底面，而四棱锥体积的计算，关键在高的计算，圆锥中的半径、高和母线长，它们的关系可以通过一个直角三角形来沟通计算.　　二、平行关系、垂直关系　　重要知识　　1.平行关系　　类型证明方法直线与直线平行若a∥b，b∥c，则a∥c若a∥α，aβ，α∩β=l，则a∥l若a⊥α、b⊥α，那么a∥b若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b直线与平面平行若aα，a∥b，bα，则a∥α若α∥β，mα，则m∥β平面与平面平行若aα，bα，α∥β，b∥β，a∩b=A，则α∥β若a⊥α，a⊥β，则α∥β2.垂直关系　　类型证明方法直线与直线垂直若a，b所成的角为90°，则a⊥

4、b若a⊥α，bα，那么a⊥b直线与平面垂直若l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b=A，则l⊥α若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，那么a⊥β平面与平面垂直若aα，bα，a∥β，b∥β，a∩b=A，则α∥β若a⊥α，a⊥β，则α∥β题型分析7　　例2如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.　　（1）证明：PA⊥BD；　　（2）设PD=AD=2，求点D到面PBC的距离.　　解析：（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD.从而BD2+AD2=AB2，∴BD⊥AD，又由PD⊥底

5、面ABCD，BD面ABCD，可得BD⊥PD.∴BD⊥面PAD，PA面PAD，∴PA⊥BD.　　（2）法1：在平面PDB内作DE⊥PB，垂足为E.∵PD⊥底面ABCD，BC面ABCD，∴PD⊥BC，由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD，又AD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，又DE面PBD，∴BC⊥DE.又DE⊥PB，PB∩BC=B，则DE⊥平面PBC.由题设知，PD=AD=2，则BD=23，PB=4，根据DE?PB=PD?BD，得DE=3，即点D到面PBC的距离为3.　　法2：设点D到平面PBC的距离为d，由（1）得BD⊥AD，∴AB=4，VPBCD=

6、12VPABCD=12×13×SABCD×PD=16×2×4×32×2=433，又VPBCD=VDPBC=13S△PBC×d，由PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，DC面ABCD，△PBD，△PCD为Rt△，∴PC=PD2+CD2=25，PB=PD2+DB2=4，又BC=AD=2，∴△PBC为Rt△且S△PBC=12×2×4=4，∴d=3.　　评注：异面直线间的垂直问题，一般要通过合适的线面垂直得到，题设中已有PD⊥底面ABCD，故有PD⊥BD，因此我们选择证明BD⊥平面PAD.点到平面的距离的计算一般要利用已有的垂直关系构建面面垂直进而得到线面垂直，如果构建垂

7、直关系比较困难，则可利用等积法求距离.7　　例3如图几何体中，矩形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点.　　（1）证明：EM∥平面ACDF；　　（2）证明：BD⊥平面ACDF.　　解析：（1）法1：延长BE交CD与G，连接AG，∵E，M为中点，∴EM∥AG，EM平面AFDC，AG平面AFDC，∴EM∥面ACDF.　　法2：取BC的中点N，连接MN、EN.　　在△ABC中，M为AB的中点，N为BC的中点，∴MN∥AC，又因为DE∥BC，且DE=12BC=CN，∴四边形CDEN为平行四边形，∴EN∥DC，

8、又∵MN∩EN=N，AC