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时间:2019-01-09
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1、圆热点考题解答策略 是初中数学的重要内容之一,也是中考的必考考点,难度较以前有所降低.常以选择题、填空题的形式考查垂径定理、圆周角定理、直线与圆及与圆有关的简单计算;以解答题的形式考查垂径定理、圆周角定理、切线的性质定理及其判定定理与其他(如三角形全等、锐角三角函数、旋转等)知识综合运用,热点内容有:垂径定理、圆周角及其推论、切线的性质定理与判定定理、与圆有关的计算.下面精选2015年热点考题进行分析说明并总结对策,希望对同学们今后的学习有帮助. 热点一垂径定理 例1(2015?牡丹江)如图1,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,若
2、AB=8,CD=6,则BE=. 解:连接OC.∵AB⊥CD,∴CE=12CD=3.∵OC=12AB=4,∴OE=OC2-CE2=42-32=7.∴BE=OB-OE=4-7. 点评:本题考查了垂径定理、勾股定理.运用垂径定理求出CE的长度,再由勾股定理求出OE的长度,从而得解. 解题对策:利用垂径定理进行计算或证明时,常需连半径或作圆心到弦的垂线段(弦心距),再利用勾股定理或锐角三角函数解“半径、弦心距和弦的一半构成的直角三角形”即可. 练习1(2015?黔东南州)如图2,AD是⊙O的直径,弦BC⊥AD于E,AB=BC=12,则OC
3、=.7 热点二圆周角定理 (2015?海南)如图3,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧AMB上一点,则∠APB的度数为() A.45°B.30° C.75°D.60° 解:过点O作OC⊥AB于D,交于⊙O于C,连接OA,OB.根据折叠的性质得OD=CD,则OD=12OC=12OA.在Rt△AOD中,sin∠OAD=12,∴∠OAD=30°.∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAD=30°.∴∠AOB=120°.由圆周角定理,得∠APB=12∠AOB=60°.故选D. 点评:折叠里隐含着线段相等或角相等,要注意挖掘.解
4、本题的关键是根据折叠得到OD=12OC,并由此求出∠OAD=30°. 解题对策:在圆周角定理及推论中,一般通过“同弧”或“等弧”将圆周角和圆心角联系起来,解题时要紧紧抓住“同弧”或“等弧”找(构造)圆周角与圆心角.另外,遇到直径、半圆或90°的圆周角,常根据“半圆或直径所对的圆周角是直角,90°圆周角所对的弦是直径”来作辅助线求解. 练习2(2015?龙东)如图4,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是() A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或
5、150°7 练习3(2015?威海)如图5,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为() A.68°B.88° C.90°D.112° 热点三圆内接四边形的性质 例3(2015?南京)如图7,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠AED=°. 解:连接CE.∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠B+∠AEC=180°.∵∠CED=∠CAD=35°,∴∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°. 点评:本题考查了圆内接四边形的性质与同弧所对的圆周角相等的性质
6、,利用性质作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键. 解题对策:圆内接四边形一般多与圆周角定理或推论结合起来考查,解题要找准圆上的四点,利用圆内接四边形的性质将外角与圆周角联系起来,进而与圆心角联系在一起,有时,也需要构造圆的内接四边形来帮助求解,如本例把圆的内接五边形转化为圆的内接四边形来解决. 练习4(2015?长春)如图8,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为() A.45°B.50° C.60°D.75° 热点四切线的性质与判定 例4(2015?绥化)如图9,以线段AB为直径作⊙O,
7、CD与⊙O相切于点E,交AB的延长线于点D,连接BE,过点O作OC∥7BE交切线DE于点C,连接AC. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)若BD=OB=4,求弦AE的长. 解:(1)证明:连接OE.∵CD与圆O相切,∴OE⊥CD.∴∠CEO=90°. ∵BE∥OC,∴∠AOC=∠OBE,∠COE=∠OEB.∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.∴∠AOC=∠EOC. ∵OA=OE,OC=OC,∴△AOC≌△EOC.∴∠CAO=∠CEO=90°.∴AC与圆O相切. (2)在Rt△DEO中,∵BD=OB,∴BE=12OD=OB=
8、4.∵OB=OE,∴△BOE为等边三角形. ∴∠ABE=60°.∵AB为圆O的直径,∴∠AEB=90°.∴AE=BE?tan60°=43. 点评:此题考查了切线的判定与性质,等边三角形的判
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