一堂别开生面的创新课堂教学案例

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1、一堂别开生面的创新课堂教学案例　　摘要：这是一篇创新课堂教学案例，是《点到直线的距离》公式推导的课堂教学实录。老师通过创设问题情境，充分激发学生学习的热情，学生能够通过自主探究，创造性地给出8种推导方法，这节课虽然用去了一个多小时，但没有间断学生的积极思维，一气呵成。8种方法，从三个不同方面去思考、探究，一是运用解析几何方法；二是运向量方法；三是运用不等式方法。运用设而不求的解题策略，构思精妙，充分运用已学过的知识去解决问题。　　关键词：直线距离；设而不求；向量；均值不等式；函数最值　　师：同学们，昨天我们学习两点间距离公式的推导，今天请同学们翻开书的106页，我们来探讨《点到直线

2、的距离》，在未学习本节之前，首先给大家提供一个思维平台，请同学们开动脑筋，创造性地提出自己的推求方法。基于这些，我主要提供下列几点供同学们分析、思考、判断和研究。　　第一，我们约定：取直线L：Ax+By+C=0，点P（x0，y0）不在直线L上，P到L的距离记为d。我们仅对AB≠0进行探究，对直线L垂直于坐标轴情况另外探讨。　　第二，请同学们看书，参考教材中已有的解决有关距离问题的方法，提出自己的新思路。9　　第三，我们在运用韦达定理求解有关一元二次方程根与系数关系的问题时，常是设出一元二次方程的两根，而又不求出其根，这种解题策略叫设而不求，请同学们从点到直线距离的定义入手，运用设而

3、不求的策略，去思考解决问题的方法。　　第四，点到直线距离定义的换一种理解是：直线L上任意一点与点P间距离的最小值。　　第五，借此机会，我给同学们介绍直线方程中的有关向量知识。凡与直线垂直的任何非零向量叫直线的法向量，凡与直线平行的任何非零向量叫直线的方向向量。　　（以上五点播放在屏幕上）　　下面给出10分钟的时间，请同学们开始自主学习或小组讨论。　　师：现在我开始提问了，教材中运用什么方法推导出点到直线距离公式？（同时我在黑板上画出在x轴、y轴两正半轴上交点分别为A、B的直线L，并在直线L外画出一点P）你有什么新的发现？谁先发言？　　生1：教材是运用“直角三角形斜边上的高，等于两直

4、角边的乘积除以斜边”的原理，构造直角三角形而推导出点到直线间距离的，我没有新发现。（学生2立即站起）　　生2：我从黑板上发现：直线L与两坐标轴已围成一个现成的直角三角形，由于直线L的两截距很容易求出来，所以原点到直线L的距离也就很轻松地求出。　　师：我们求得是点P到直线L的距离？你求得原点到直线L的距离有用吗？　　生2：我还没有想好。9　　师：你发现了这个直角三角形，说明你的观察能力很强，我们应该为你鼓掌，请你坐下想好了再告诉同学们。（学生3立即站起）　　生3：老师我想好了不知是否可行，由于原点到直线L的距离好求，那么我们就将坐标系原点平移至点P，这样求出原点到直线L的距离就是点P

5、到直线L的距离了。　　师：非常精彩，切实可行，而运算简单，我为你的聪明而骄傲，请同学们写出推导过程，完成后我选几位同学将你们所写的投影到屏幕上。　　师：请同学们看一下大屏幕，这位同学是先推导出原点到直线L的距离公式，然后只要将新坐标系下直线L方程的中有关量代入就可以了。同学们，公式我们已经推导出来了，下面请继续回报你们的研究成果，但是，我们只讲思路，推导过程作为今天的作业。　　师：你回答得非常好，我非常满意，请同学们为他鼓掌。同学都听明白了吗？下面继续。　　生5：老师，所谓的设而不求，是否就是设出点P在直线L上的射影Q的坐标，而又不求出这两个值，对吗？　　师：是的，请同学们思考，既

6、然不用求出点Q的两坐标值，那么对点Q的坐标如何运用呢？　　生6：那只有将点Q的坐标代入直线L方程，得到一个关于点Q坐标的等式，在后面推导过程中，必须灵活运用这个等式。　　师：你说得很好，现在我们不妨设出点P（x0，y0），Q（x1，y1），那么得到的等式是（我边讲边写出等式）Ax1+By1+C=0。请同学们思考，如何运用这个等式？9　　生7：由于所求的是线段PQ长，当然这个等式要与点P的坐标发生联系，又线段PQ的长是用两点间距离公式表示，这就既然想到要把x1-x0，y1-y0看成整体，对这个等式两边同减去Ax0，By0，得到：A（x1-x0）+B（y1-y0）=-Ax0-By0-C

7、。　　师：你说得非常正确，那么接下来该如何分析？　　生7：我们现在虽然不求出点Q的坐标，但是把x1-x0，y1-y0看成整体，要运用两点间距离公式，就要分别求出x1-x0，y1-y0，从方程理论上考虑，必须要列出关于x1-x0，y1-y0的两个等式，我们现在已经有一个等式了，还差另一个。　　师：你分析很精辟，思路也很清晰，另一个等式如何找到？（学生8抢着站起）　　生8：与点P、Q有关的还有重要的一点我们还没有用，就是线段PQ与直线L垂直，列出关于点P与点Q的连线斜率的