离散线性反演的优化算法-课程设计

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1、信号处理中的矩阵理论与方法课程设计前旨在反演问题中，物理系统（模型）往往是不可直接测量的。为了获得这些不可直接测量的量的信息，需耍利用与这些不可直接测量的量有密切关系的一些可以直接测量的量。这种可以直接测量的量就是观测数据。物理理论或规律将物理模型与观测数据联系起来，即d=Gx（1）从数学观点而言，G是一个已知的映射算子。由给定的兀值计算的过程称为正演；而由〃反推x的过程称为反演。G为线性算子是线性问题（相应的反演为线性反演）；G为非线性算子则是非线性问题（相应的反演为非线性反演）。如果考虑到观察数据的误差

2、，那么（1）式可以变为：d=Gx+e（2）其中e就代表了误差分布。本文主要讨论的就是离散线性反演的问题，其模型与观测数据用离散参数表示，根据已知数据的和未知模型参数的数量又可以将其分为三类问题：1•适定问题：如果给定数据向量d,反演问题的解存在并且是唯一的，反演问题称为适定问题。在地球物理反演问题中，数据中常常是带有噪音的，适定的反演问题通常是不存在的；2.超定问题：超定问题是指观测的数据要比未知模型参数的数量多。在这种情况下，反演问题不存在一个精确解。因此反演理论只是寻求一个最好的解；3•欠定问题：对于欠

3、定问题，由于信息量不足，反问题可以有无限多个使预测误差为零的解。所以，为求得反问题的唯一解，给出的先验条件的正确性是非常重要的。求解离散反演问题，可采用直接的或非直接的计算方法，直接计算方法是直接利用离散化矩阵形式计算得到数值解。而非直接计算方法常用迭代的方法求解,非直接的方法是求解地球物理反问题的常用的技术，因为它的计算花费少，具有计算上的优势。此外，反演的稳定性是要加以注意的另一个问题。所谓稳定性，可以用当数据d有微小扰动时，反演求得的解与真解间的差心的大小来判断。若太大则是不稳定的，反之则是稳定的。1

4、•迭代反演算法迭代反演(iterativeinversion)是根据已知物理信息，确定一个初始模型，然后正演计算模型的场效应。利用计算值与观测值的差值(剩余值)修改初始模型，然后再正演计算场值，根据比较结果再作模型修改。这样反复迭代，直到计算值与观测值的差值(或均方误差)达到预置精度，最终得到反演结果。迭代反演的关键问题是模型修改方法的选择，这将直接影响迭代收敛速度和结果的正确性。针对反演目标一一模型残差更小，设定相应的目标函数，如I2范数：丿(x)=

5、d—Gx

6、；(1.1)12范数：J(x)=d-Gx

7、^(1.2)或者一些混合范数等，如hubber范数。再给定初始x后，根据相应的迭代算法，使目标函数的值更小。1.1梯度下降算法基于这样的观察：如果实值函数丿(兀)在点母处可微且有定义，那么函数丿(X)在无'点沿着梯度相反的方向-V丿(切下降最快。因此，如果：耳+1=无—％7/(母)(1・3)那么对于咳>0为一个小数值时成立，那么J(^+1)

8、直线搜索时可能会产生一些问题。3.可能会“Z字形”地下降。如下图1・1所示：11X21-06-04-0?0002040.608w.!0»29»P.A.WMMWtcu图1T梯度下降法迭代结果示意图从图中可以看到，第100次迭代到1000次迭代的速度非常慢，且下降过程呈“之”字形。1.2非线性共辘梯度法非线性共辘梯度法的基础是有效地运用线性共辘梯度法，其中残差被梯度取代。因为从未产生明确的二次函数模型，所以它总是和“线搜索”方法结合起来使用。其主要步骤如下图所示：step1:给走迭代精滾0S&《1和初始点艾）•

9、计尊9o=V人筍））..金A;■0.step2:司

10、厲

11、

12、<€.五止迭代，锚出丹axkstep3:计向dk必七:+0gfc=0k>lstep4:利用线搜索方;去确走搜索步长ajtstep5:令^xklt■班+akdk,井计真g*（丨=仗刎i）step6:fe<—jfe+1,转$t.p2图1-2非线性共辄梯度法迭代步骤第一种非线性共觇梯度法由Fletcher和Reeves提出的.给定一个步骤方向以，然后使用线搜索方法找到的使得xM=xk^akPk.然后计算3二”（忑+网（无+

13、）Pm~V八母）（1.4）以+】

14、=0如以-可（和）至关重要的一点是用以选择畋的线搜索满足强Wolfe条件；这是确保方向是下降方向所必要的。另一种通常（但并不总是）在实践中表现更好的方法是由Polak和Ribiere提出的，其中方程（1・4）由如下式子替代（1.5）B=“（母‘+

15、）（V丿（忑+J-（母））V厂⑴）W（檢）PM=max（0z，O）几-VJ（x^）在修改搜索方向中，0⑷有可能变成负的，在这种情况下，使用nrnx函数修改其迭代过程，如