一轮复习配套讲义：第6篇 第4讲 基本不等式设计

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1、第4讲　基本不等式[最新考纲]1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3

2、．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．辨析感悟1．对基本不等式的认识(1)当a≥0，b≥0时，≥.(√)(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(×)2．对几个重要不等式的认识(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√)(4)＝≤≤≤.(×)(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(√)3．利用基本不等式确定最值(6)

3、函数y＝sinx＋，x∈的最小值为4.(×)(7)(2014·福州模拟改编)若x＞－3，则x＋的最小值为1.(√)(8)(2013·四川卷改编)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝36.(√)[感悟·提升]两个防范　一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．如(2)、(4)、(

4、6)．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.学生用书第103页考点一　利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：≥8.证明　∵x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，∴≥＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练1】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋

5、b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．考点二　利用基本不等式求最值【例2】(1)(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)．A．0B．1C.D．3(2)(2014·广州一模)已知＋＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为(　　)．A．1B．2C．4D．8审题路线　(1)x2－3xy＋4y2－z＝0⇒变形得z＝x2－3xy＋4y2⇒代入

6、⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把＋－转化关于的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．解析　(1)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝.又x，y，z为正实数，∴＋≥4，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.∴＋－＝＋－＝－2＋＝－2＋1，当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．答案　(1)B　(2)D规律方法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函

7、数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【训练2】(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)．A.B.C．5D．6(2)(2014·浙江十校联考)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)．A.B.C．2D.解析　(1)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2

8、x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案　(1)C　(2)C考点三　基本不等式的实际应用【例3】(2014·济宁期末)小王大学毕