一轮复习配套讲义：第2篇 第9讲 函数模型及其应用设计

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1、第9讲　函数模型及其应用[最新考纲]1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1．函数模型及其性质比较(1)几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax

2、＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)(2)三种函数模型性质比较函数性质　　y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.“f(x)＝x＋”型函数模型形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.学生用书第33页辨析感悟1．关于函数模型增长特点的理解(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大

3、．(×)(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)(3)幂函数增长比直线增长更快．(×)2．常见函数模型的应用问题(4)(2013·长春模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系的图象可以表示为.(√)(5)(2014·济宁模拟改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产

4、量是150台．(√)[感悟·提升]一个区别　三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时，有ax＞xn＞logax(a＞1，n＞0)．如(1)中当2＜x＜4时，2x＜x2；如(2)中没强调b＞1；如(3)，举例y＝与y＝x，当x＞1时，y＝比y＝x增长慢.考点一　利用图象刻画实际问题【例1】(2013·湖北卷，文)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)．解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距

5、离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案　C规律方法抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．【训练1】如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从

6、高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故上面的图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率逐渐变慢，然后逐渐变快，正确；④中的变化率逐渐变快，然后逐渐变慢，也正确，故只有①是错误的．选A.答案　A考点二　二次函数模型【例2】(2014·德州一模)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问

7、：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解　(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．令t＝(0≤t≤2)，则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元.学生用书第34页规律方法二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用

8、配方法、判