一轮复习配套讲义：第5篇 第1讲 数列的概念与简单表示法设计

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1、第1讲　数列的概念与简单表示法[最新考纲]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项．(2)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)数列的前n项和在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．2．数列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表达n与f(n)的对应关系图象法把点

2、(n，f(n))画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用通项公式表达的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数an＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．*3．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有

3、些项小于它的前一项的数列周期性∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an4.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝辨析感悟1．对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．(×)(2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×)2．对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是an＝.(×)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(5)(2013·开封模拟改编)已知Sn＝3n＋1，则an＝2·3n－1.(×)[感悟·提升]1．一个区别　“数列”与“数集”数列与

4、数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)．2．三个防范　一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an＝三是已知Sn求an时，一定要验证n＝1的特殊情形，如(5).学生用书第79页考点一　由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)，，，，，…；(3)，2，，8，，…；(4)5,55,555,5555，….解　(1)偶数项为正

5、，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为an＝.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝.(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10

6、n－1)．规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，，－，，－，，…；(2)，1，，，….解　(1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…，因此可得数列的一个通项公式为an＝(－1)n·.(2)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加

7、1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得数列的一个通项公式为an＝.考点二　由an与Sn的关系求通项an【例2】(2013·广东卷节选)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；(2)由题