4最大公约数和最小公倍数

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1、第四讲最大公约数和最小公倍数　　本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。　　定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。　　证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。　　假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）　　所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。　　那么md是a、b的公约数。　　又∵m＞1，∵md＞d。　　这就与d是a、b的最大公约数

2、相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。　　定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）　　定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）　　下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。例1甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.　　解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得　　36×乙数=4×288，　　乙数=4×288÷36，　　解出乙数=32。　　答：乙数是32。　　解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲

3、数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。　　因为甲、乙两数的最小公倍数是288，　　则288＝4×9×b1，　　b1＝288÷36，　　解出b1＝8。　　所以，乙数=4×8=32。　　答：乙数是32。例2已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？　　解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。　　因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝21b1，且（a1，b1）＝1。　　因为这两个数的最小公倍数是126，　　所以126=21×a1×b1，　　于是a1×b1=6，　　因此，这两个数的和为21＋126

4、=147，或42＋63=105。　　答：这两个数的和为147或105。例3已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。　　解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。　　因为a＋b=50，所以有5a1+5b1=50，　　a1+b1=10。　　满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：　　答：这两个数为5与45或15与35。例4已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。　　解：设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，

5、b1）＝1。　　因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，　　所以240=d×60，　　解出d＝4，　　所以a=4a1，b=4b1.　　因为a与b的最小公倍数为60，　　所以4×a1×b1＝60，　　于是有a1×b1＝15。　　答：这两个数为4与60或12与20。例5已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。　　解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b，（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。　　因为a+b＝54，所以da1+db1=54。　　于是有d×（a1＋b1）＝54，因此，d是54的约数。　　又因为

6、这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114，　　所以da1b1-d=114，　　于是有d×（a1b1-1）=114，　　因此，d是114的约数。　　故d为54与114的公约数。　　由于（54，114）＝6，6的约数有：1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。　　如果d＝1，由d×（a1+b1）＝54，有a1＋b1=54；又由d×（a1b1-1）＝114，有a1b1=115。　　115=1×115=5×23，但是1＋115=116≠54，5＋23=28≠54，所以d≠1.　　如果d＝2，由d×（a1＋b1）＝54，有a1+b1=27；又由d×（a1b1-1）=11

7、4，有a1b1=58。　　58＝1×58＝2×29，但是1＋58＝59≠27，2+29＝31≠27，所以d≠2。　　如果d=3，由d×（a1＋b1）=54，有a1+b1＝18；又由d×（a1b1-1）=114，有a1b1=39。　　39＝1×39＝3×13，但是1＋39＝40≠18，3＋13＝16≠18，所以d≠3。　　如果d=6，由d×（a1＋b1）=54，有a1＋b1=9；又由d×（a1b1-1）=114，有a1b1=20。　　20表示成两个互质数的乘