排列与组合[1].版块六.排列组合问题的常见模型2.学生版

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1、排列组合问题的常见模型2貝tite知识内容1.基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有〃类办法，在第一类办法小有f种不同的方法，在第二类办法中冇®种方法，……，在第斤类办法中冇叫种不同的方法.那么完成这件事共冇N+m2+•••+叫种不同的方法.又称加法原理.⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成料个了步骤，做第一个步骤冇“种不同的方法,做笫二个步骤有®种不同方法，……，做第n个步骤有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N=“xm2x•••xmn种不同的方法.乂称乘法原理.⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果

2、完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用.2.排列与组合⑴排列：一般地，从个不同的元素中任取W斤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)排列数：从斤个不

3、同的元素中取出tn(jnW斤)个元素的所有排列的个数，叫做从川个不同元素中取出加个元素的排列数，用符号A；：表示.排列数公式：=n(n-l)(n-2)■■•-m4-1),m,neN十,并且mWn.全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.〃的阶乘：正整数由1到〃的连乘积，叫作n的阶乘，用加表示.规定：()!=1.⑵组合：一般地，从兄个不同元素中，任意取出m(m/?)个元素并成一组，叫做从〃个元素中任取加个元素的一个组合.组合数：从,2个不同元素中，任意取出W7?)个元素的所有组合的个数，叫做

4、从”个不同元素中，任意取出加个元素的组合数，用符号C：表示.组合数公式：=+并且宀・mm!(/?-/??)!组合数的两个性质：性质1:C；：=C；「；性质2:C；；；产C；+.（规定C^=l）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2.分类分步法：对于较复杂的排列组

5、合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏.3.排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空.6.插板法：个相同元素，分成m[mCn）组，每组至少一个的分组问题扌巴几个元素排成一排，从71-1个空中选加-1个空，各插一个隔板，有C；；・7.分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）.有等分

6、、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n堆（组），必须除以n!,如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m!&错位法：编号为1至n的几个小球放入编号为1到八的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.1.排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素

7、；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答.2.具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间

8、隔排列的问题，采取插空法或隔板法;⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面.⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型.典例分析分堆问题【例1】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?（1）—堆一本，一堆