关于正弦型函数y=asin（ωx+φ）中φ角确定的探究

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1、关于正弦型函数y=Asin（ωx+φ）中φ角确定的探究　　摘要：根据正弦型函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象求其解析式是教学中的一个难点问题，难点在于如何根据图象准确地确定φ角的值，下面将介绍如何来确定φ角的值。　　关键词：正弦型函数；φ角；确定　　问题：（苏教版高中数学必修4第48页）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，试求该函数的解析式。　　■　　误解：由图象知：A=3，T=2[3-（-1）]=8，ω=■=■=■，所以函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式可设为f（x）=3sin

2、（■x+φ），又点（3，0）在函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象上，故有3sin（■×3+φ）=0即sin（■×3+φ）=0，所以■×3+φ=kπ，（k∈Z），则φ=kπ-■×3，（k∈Z）；又φ∈[0，2π），因此φ=■或■，所以函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式为f（x）=3sin（■x+■）或f（x）=3sin（■x+■）。　　分析：本题的解题过程看上去似乎并无错误，但我们发现　　f（x）=3sin（■x+■）的图象并不是本题中的图象（其图象见图中虚线部分），这是为什么呢？　　根据正弦型函数的图象求其解析式是教学中的一个难

3、点问题，难点在于如何根据图象准确地确定φ角的值，本文从另一个角度来研究这个问题。　　首先对于任意一个形如y=Asin（ωx+φ）的函数均可以转化为y=A′3sin（ω′x+φ′），其中A′>0，ω′>0，-π<φ′≤π.　　如果A0，则y=Asin（ωx+φ）=-Asin（ωx+φ）=Asin（ωx+φ+π）.　　如果ω0，则y=Asin（ωx+φ）=Asin（ωx+φ）=Asin[-（ωx-φ）]=-Asin（ωx-φ）=Asin（ωx-φ+π）.　　如果A<0，ω<0，则y=Asin（ωx+φ）=-Asin（-ωx+φ）=Asin（ωx-

4、φ）.　　综上所述，对于任意一个形如y=Asin（ωx+φ）的函数均可以转化为y=A′sin（ω′x+β），其中A′>0，ω′>0.　　由于正弦型函数y=Asin（ωx+φ）中φ角是任意角，故转化后的函数y=A'sin（ω'x+β）（其中A'>0，ω'>0）中的β角的取值可能是正角也可能是负角还可能为0，不妨设φ'角的取值范围为（-π，π〕，β角在φ′角的取值范围（-π，π）内总能找到与其终边相同的角，即总有β=φ′+2kπ，（k∈Z），又因为终边相同的角的三角函数值相等，所以上面y=A′sin（ω′x+β）=A′sin（ω′x+φ′+2kπ

5、）=A′sin（ω′x+φ′），所以正弦型函数y=Asin（ωx+φ）可转化为函数y=A'sin（ω'x+φ'），（其中A′>0，ω′>0，φ′∈（[-π，π]），并且函数y=A′sin（ω′x+φ′），（其中A′>0，ω′>0，φ′∈（-π，π〕）为其最简形式。因此，要求正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，只要求出其最简形式y=A′sin（ω′x+φ′），（其中A′>0，ω′>0，φ′∈（-π，π〕）即可。　　根据正弦型函数的图象求其解析式的方法本人总的归纳起来共有以下几种，供各位同仁参考。（以上述问题为例）3　　方法一：用变换中的

6、平移公式d=■确定　　由图象知：A=3，T=2[3-（-1）]=8，ω=■=■=■，又由图象知，由正弦曲线向左平移了1个单位长度，所以有1=■且φ>0　　解得φ=■　　所以函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式为f（x）=3sin（■x+■）　　说明：此法是根据正弦曲线通过变换得到正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图象中的变换规律来解题的。运用此法要注意两个易错点：一是公式中d的符号是正号。它表示水平方向平移的距离，这可从已知的图象上观察得到，利用此平移公式求出来的是φ的绝对值；二是φ的符号。这是由平移的方向来确定的，要从已知的图象上观

7、察得到本图象相对于正弦曲线是向左平移了还是向右平移了，如果是向左平移了φ为正，向右平移了φ为负。只有注意到了这两点，才能准确确定φ的值。　　参考文献：　　[1]李永利.正弦型函数解析式的确定，数学通报，2001（03）.　　[2]焦春义.正弦型函数教学素质培养探讨.科技资讯，2007（07）.　　（作者单位江苏省宿迁市沭阳县马厂中学）3