九年级数学上册专题九圆周角定理的综合运用同步测试（新版）新人教版_设计

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1、圆周角定理的综合运用一　巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．图1证明：∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形对角互补)又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)∴∠A＝∠C＝90°所以圆内接平行四边形是矩形．　如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　A　)A．40°　　B．45°　　C．50°　　D．60°图2　　　变形1答图【解析】如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC

2、，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.　如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．图3　　　变形2答图【解析】如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝

3、120°－60°＝60°.　[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．【解析】在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30°.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.图4图5　如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(　A　)A．35°B．45°C．55°D．75°　如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△

4、ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形；(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4.图6变形5答图二　圆周角定理与垂径定理的综合(教材P89习题24.1第5题)如图7，OA⊥BC，∠

5、AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．图7解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．　如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3cm，则弦AB的长为(　A　)图8A．9cm　　　　　　B．3cmC.cmD.cm解：∵∠CBA＝30°，∴∠AOC＝2∠CBA＝60°，∵AB⊥OC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA＝×3＝(cm)，由勾股定理得：AD＝＝4.5cm，∵AB⊥OC，OC过O，∴AB＝2AD＝9(cm

6、)，故选A.　如图9，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(　D　)图9　　　　　　　　变形2答图A．2B．8C．2D．2【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝BC＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，

7、∴CE＝＝＝2.故选D.　如图10，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(　A　)图10　　　　　　变形3答图A．4cmB．3cmC．5cmD．4cm【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△OED，∴OE＝AF＝AC＝3cm，在Rt△DOE中，，DE＝＝4cm，在Rt△ADE中，AD＝＝4cm，故选A.　如图11，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O

8、交于G，H两点，若⊙O的