高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第2课时利用导数研究函数的极值最值课件理北师大版

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1、第2课时　利用导数研究函数的极值、最值随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：规律方法函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0

2、处取极小值.(2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.规律方法(1)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含

3、参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.【训练2】已知函数f(x)＝(ax－2)ex在x＝1处取得极值.(1)求a的值；(2)求函数在区间[m，m＋1]上的最小值.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最

4、大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律方法函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设：设出自变量、因变量；二列：列出函数关系式，并写出定义域；三解：解出函数的最值，一般常用导数求解；四答：回答实际问题.答案B[思想方法]1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图像分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图像分析导函数的变号零点；函数的最值常

5、借助原函数图像来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.[易错防范]1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.