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《高三数学第二轮专题讲座复习关于求空间的角的问题(2)_设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想重难点归纳空间角的计算步骤一作、二证、三算1异面直线所成的角范围0°＜θ≤90°方法①平移法；②补形法2直线与平面所成的角范围0°≤θ≤90°方法关键是作垂线，找射影3二面角方法①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算注2借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果4．三种空间角的向量
2、法计算公式：⑴异面直线所成的角：；⑵直线与平面(法向量)所成的角：；⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量。典型题例示范讲解例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点(1)求证四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角命题意图本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角错解分析对于第(1)问，若仅由
3、B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面技巧与方法求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形(2
4、)解如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos另法（向量法）如图建立坐标系，则故A′C与DE所成角为arccos(3)解∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′在Rt△B′AD中，AD=a，AB
5、′=a,B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos另法（向量法）∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，如图建立坐标系，则，故AD与平面B′EDF所成的角是arccos(4)解如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连
6、结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中，sinOMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin另法（向量法）如图建立坐标系，则，所以面ABCD的法向量为下面求面B′EDF的法向量设，由∴∴故面B′EDF与面ABCD所成的角为例2如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°求(1)AC1的长；(2)直线B
7、D1与AC所成的角的余弦值技巧与方法数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用∴BD1与AC所成角的余弦值为例3如图，为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角(1)求证MN分别与α、β所成角相等；(2)求MN与β所成角(1)证明作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，
8、∴∠MPB=∠NPA在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立(2)解设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ,
