关系映射反演原则

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1、关系映射反演法（RMI原则）1RMI原则的思想与含义关系映射反演法（简记为RMI原则）的基本思想是转换思想，即把一种待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答。关系映射反演法是在这一转换思想指导下处理数学问题的一种具体手段与方式。一般地可表述为：设S为含有目标原像x的、具有某种关系结构的集，若在S中直接求x有困难，可建立可逆映射（p,它满足：（1）S在（P下的像（p（S）包含于另一个具有关系结构的集S*；且（2）S*屮可以较容易地确定目标映像x*

2、=（p（x）,这样一来，就可以通过反演0“来确定x（即X=0'（X*））。这个全过程可以概括为以下几个步骤:关系T映射T定映T反演T得解，并可用图表示如下：2关系映射反演原则在概率逼近中的应用用概率方法研究逼近中的问题，其关键是如何运用关系映射反演原则，即包括怎样把逼近中的有关问题适当地用概率语言描述，使其变成概率中的问题（此步即寻找关系映射0）然后是如何应用概率论的方法把用概率语言描述的逼近问题进行处理，即求解（此步为映射功°）,最后是把定映后的概率语言翻译成我们所要解决的逼近问题（此步为反演下面用图说明

3、此过程。由关系映射反演原则知：概率逼近的关键是如何通过原象关系，确定映射°（用概率语言描述）确定定映鸭（怎样在概率论中求解）和反演旷'中（去掉概率语言）。下面通过例子来说明关系映反演原则在概率逼近屮的重要作用及应用。3用概率论方法weiesrtrass逼近定理定理：设/⑴在〈％〉上连续，那么对任意£>°,总存在多项式©⑴，使得：由数学分析教材只需考虑〈°上〉=〈0,1〉的情形即可，现在我们先应用概率知识来直观地解释一下weiesrtrass定理的概率证明的想法及Bernstein多项式的由來和关系映射反演原

4、则的作用1设随机变量§的取值范圉为{0,1},对任意它的分布律为(1)匕(§=0)=1_兀，C(§=l)=x(此处及今后与兀有关的概率记作«•))ny设G§2,・・・®总与纟同分布，且相互独立。对任意"〈°」〉，,服从二项分布p魯D咕<*(1—旷L=0,1…，n(2)2对任意"w〈°」〉，与％有关的数学期望，方差分别记成$(•),°C),则在上述记号下，由概率论知Eg=0(1-兀)+1•兀=兀(3)1n1nEx(-£A)=-£e&“(4)nk=Jt=lD^=E^-(Ex^2=x(l-x)(5)dx(-±

5、^=Md^=^-⑹nk=心in3切贝晓夫不等式：设随机变量〃的方差存在，则对任意正数力，有不等式P(

6、〃—勘

7、沁¥⑺由切贝晓夫不等式及(4),(6)知，对任何及任何/>0有P.X(—工©-X这就是说，当斤充分大时,与X的误差二力的“可能性”很小,与兀的误差V》“可能性”很大。而》任意，所以可以认为：当刃充分大时，在]“1n上述意义下可以任意“逼近”X,于是在上述意义下可以任意逼近/（兀），由于随机变量〃的数学期望的直观意义为〃的按概率平均所得的1”值，所以我们可以推测当比充分大时，EJSJ）逼近Exf（

8、x）=f（x）而由（2）及随机变量函数的数学期望的公式1nnTnjE』mf㈠巴㈠c,*（ir）i（9）n"1/.=0nL=0n这就是Bernstein多项式下面是这个近逼定理的概率证明证：给定兀丘〈°」〉，由（9）得又有数学期望的性质，（兀）=/"），砌日商可得场(兀)-/(兀)1H=IExf(£冬—(1)n“】1八=ex/(i1n5和/(X^)-/U)lnk=tn=Zl/()-f(x)Px^k=L)L=0nkmTn=Z1/()-/g)上(£§严厶)T并jt=lf(h-fM

9、Px^k=L)InA=1

10、/(^)-/(X)

11、>£n工1+工2(10)显然由(2)可得D"£p、(£il)=£(ii)L=0k=l这需要估计工2由于/⑴在〈0,1〉连续，因在〈0,1〉上有界，设其界为”，即对任何比〈°」〉，/(x)

12、5M于是工252MS^(t^=LTk=

13、/(^)-/(X)>£nin=2MPr(l+(-X^)-/(x)

14、>r)(12)"bi由于/(X)在〈°，1〉连续因而一致连续，即对任何£>0,存在氏〈°，1〉无关的》>0,使得对任何x,八〈°，1〉，且当卜一打<5时，有

15、/(劝-/

16、(*)

17、<£,或当恥)7(冋'£时lx-xl-J成立，于是对任何^〈°」〉，1/(1—£灯)-/(兀冷£=

18、—£灯-兀I"(13)nk=k=故由于^是随机取值的，V，$2,〃每次取值吋，上述两个不等式可能成AB=o由（13）知I；AuB立，也可能不成立，所以他们是随机事件，记作T足左）-加淞因而由概率的性质得P（A）WP（B），再由（8）得1n1n11n1n/=!n/=!匕（/（二£灯）-/（兀）£（i二£