高考数学一轮复习第三章导数及其应用3_2利用导数研究函数的单调性课件文

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1、第2讲　利用导数研究函数的单调性考试要求1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内．单调递增单调递减2．利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当

2、f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数．一般需要通过列表，写出函数的单调区间．3．已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(

3、x)＞0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()解析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增一定有f′(x)≥0，且不恒为0，故①错．(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(x)≥0，故(3)错．答案(1)×(2)√(3)×3．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≥0，即a≤3x2在x∈[1，＋∞)恒成立．又当x∈[1，

4、＋∞)时，3x2≥3，∴a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3]．答案(－∞，3]4．(2017·南京、盐城模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．解析设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0.F′(x)＝f′(x)－2，对任意x∈R，F′(x)>0，即函数F(x)在R上是单调增函数，则F(x)>0的解集为(－1，＋∞)，故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案(－1，＋∞)规律方法用导数讨论(证明)函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)

5、求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex，由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，综上可知，f

6、′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间．易错警示个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函数．【训练3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(－1,1)，求a的值．解(1)

7、因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号．∴f(x)＝x3－1在R上是增函数．所以实数a的取值范围是(－∞，0]．[思想方法]1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解，并注意函数f(x)的定义域．2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．3．已知函数单调性可以利用已知区