穿越数学题海追寻前世今生

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1、穿越数学题海追寻前世今生　　步入高三，总是听到学生抱怨，“老师上课讲的能听懂，轮到自己做题就不会”出现这样的状况主要原因之一在于学生在数学学习过程中，大多数学生为了解题而解题，却不善于发现题目的“真身”，即命题的意图一道数学题的产生，命题者会依据一定的知识背景，再以其为基础通过适当的加工与调整形成的如果在解题过程中学生能透过现象看到题目的本质，那么对学生解题能力会有很大的提升当今社会上很流行穿越的话题，我想不妨将我们的解题的过程也比喻为“一次穿越”，通过穿越若能找寻到题目的“前世”（即考查的知识点），再看

2、它的今生，这好比《西游记》中的孙大圣，一旦知道妖精的来处，就能马上请相应的大佛来擒妖下面是由一道高考题为引子，让学生们来做一次“孙大圣”，抓住题目的“前世”　　1考题呈现――抛砖引玉　　2新题探究――思维拓展　　教师：从上面的高考题看，当我们遇到解题障碍时，常常可以想想该题到底想要考查我们什么知识点，当我们能破解题目的“前世”时，那么解题就会方便多了　　例1（2010年重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线的平面内的轨迹是（）　　A直线B椭圆　　C抛物线D双曲线4　　教师启发：一般情

3、况下异面直线在平面图形上很难呈现，往往需要借助平面或几何体来烘托，能借此来找到题目的“前世”吗？　　学生：可以用长方体来烘托两条异面直线　　教师：请同学们试着把异面直线放入一个长方体中，构建熟悉的几何模型，看看是不是能解本题　　通过学生的讨论、补充完善，得到本题的一个解法：以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x轴且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设所求点的坐标（x，y，z），由它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，　　把

4、z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，y2-x2=-a2或y2-x2=a2，图形是双曲线　　教师：回顾此题，我们发现本题实质上是从长方体中取出一对互相垂直的异面对棱构造而成，在解题过程中一旦找到本源，那么任何题目就简单了　　3变式训练――巩固强化　　变式某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是a，b，c，求四面体的体积　　旧题重做――触类旁通　　教师：同学们，通过上述解题，我们可以发现，如果大家能找到题目的“前世”，透过现象看清本质，那么就能缩短思维流程请同学们在我们已经做过的题中找找可以用类似的方法来求

5、解的题型4　　教学说明：希望通过布置的任务，让学生亲自参与探寻解题练习，体验寻找题目的“真身”给解题带来的方便，提炼巩固解题方法　　对于这个作业学生热情很高，积极寻找，无形之中让学生再一次对曾经做过的题目进行了一遍复习回顾教师将学生找到的好的习题归纳整理，形成了一堂对应的习题课　　练习1已知定直线l与平面α内的一动点P，且点P到直线l的距离为3，l与α所成的角为60°，则动点P的轨迹是　　学生分析：由“点P到直线l的距离为3”联想到定点距离为定长的点的轨迹是圆，那么点P轨迹在以l为旋转轴，3为半径的圆柱面

6、上如图6，图6　　因为定直线l与平面α成60°角，所以动点P的轨迹是椭圆　　该题的“前世”在于用不垂直于圆柱旋转轴的平面截圆柱面得到截面是椭圆　　练习2在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC，棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成上、下两部分的体积之比等于　　学生分析：因为PQ=2，点M为PQ的中点，DA⊥AP，　　所以点A到点M的距离为定值1，即点M的轨迹为以A为球心　　1为半径的八分之一的球

7、，故上、下部分的体积之比等于π6323=π64-π　　课后反思：数学的基础知识要通过解题实践来消化，让学生明白命题者命题的意图，考查的知识点，学会透过现象看清题目的“前世”4，从而达到对数学本质的领悟，提升学习的能力，愿我们每一个学生都能成为“孙大圣”，将高中数学知识轻松的拿下　　作者简介李颖，女，1979年1月生，浙江宁波人中教一级，笔者长期从事高中数学教育，曾获区级优秀教师、优秀班主任等荣誉称号4