第一章§1.2(二)_设计

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1、§1.2　应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为absinC.一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为(　　)A．α>βB．α＝βC．α<βD．α＋β＝90°答案　B2．设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼

2、顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是(　　)A．20m，mB．10m,20mC．10(－)m,20mD.m，m答案　A解析　h甲＝20tan60°＝20(m)．h乙＝20tan60°－20tan30°＝(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为(　　)A．30＋30mB．30＋15mC．15＋30mD．15＋3m答案　A解析　在△PAB中，由正弦定理可得＝，PB＝＝，h＝PBsin45°＝(30＋30)m.4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有

3、一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为(　　)A．2h米B.h米C.h米D．2h米答案　A解析　如图所示，BC＝h，AC＝h，∴AB＝＝2h.5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是(　　)A．200mB．300mC．400mD．100m答案　B解析　如图所示，600·sin2θ＝200·sin4θ，∴cos2θ＝，∴θ＝15°，∴h＝200·sin4θ＝300(m)．6．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为1

4、8，则平行四边形面积是(　　)A．16B．17.5C．18D．18.53答案　A解析　设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cosα＝或a＝4，b＝5，cosα＝，∴S▱ABCD＝absinα＝16.二、填空题7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案　北偏东30°　a解析　如图所示，设到C

5、点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，由正弦定理知＝，∴＝，∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a.8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．答案　20解析　设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则S＝AB·AC·sinA＝10k2＝10.∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝82＋

6、52－2×8×5×＝49.∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案　解析　不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：cosA＝＝＝，∴sinA＝＝.由(a＋b＋c)·r＝bcsinA得r＝.∴S内切圆＝πr2＝.10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10nmile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9nmile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21nmile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案　解析　设舰艇和渔

7、船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝或t＝－(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.根据正弦定理得：＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝.即山高CD为.12

8、．已知圆内