第3讲圆的方程

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1、第3讲圆的方程[最新考纲]1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题.知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆圆心C(a，b)标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)半径为r方程充要条件：D2＋E2－4F＞022E一般x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0圆心坐标：2半径r＝2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种关系：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x2220－a)＋(y0－b)＝r⇔点在圆上；②(x2220－a)＋(y0－b)>r⇔

2、点在圆外；③(x22

3、[感悟·提升]1．一个性质圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b)．2．三个防范一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为

4、a

5、；二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一求圆的方程【例1】根据下列条件，求圆的方程．(1)求过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程．(2)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.解(1)设圆的方程为x2＋y2＋D

6、x＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．①将P，Q点的坐标分别代入①得4D－2E＋F＝－20，②D－3E－F＝10，③令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知

7、y1－y2

8、＝4，其中y1，y2是方程④的两根，所以(y2221－y2)＝(y1＋y2)－4y1y2＝E－4F＝48.⑤E＝0，E＝－8，解②、③、⑤组成的方程组得F＝－12或F＝4.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.(2)法一设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10.由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a.①由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为4，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)

9、2＝10，整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.由弦长公式得＝4，化简得a－b＝±2.②解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图，由勾股定理，可得弦心距2d＝2＝＝.又弦心距等于圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离，

10、a－b

11、

12、a－b

13、所以d＝2，即2＝.③又已知b＝2a.④解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.规律方法求圆的方程

14、，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．【训练1】(1)(2014·广安诊断)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()．A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)

15、2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．解析(1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x

16、4a－3

17、1－3y＝0相切，得5＝1，解得a＝2或－2(舍去)．故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.(2)依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，将A，B点坐标分别代