2、法还有最小公倍数。而素数，整数的惟一分解定理的出现又使得数论进入更有趣的环节，任一大于1的整数都能表示成惟一一种形式的素数的乘积，这是一个多么美妙的定理，它是一种同一性的体现，好比上帝面前，众生平等。在数学王国里，只要你是整数，不管你大还是小，都必须得服从这条规则。这又好比，无论一个人地位高低，在历史面前都仅仅是一粒微小的尘埃，在时间的长河屮都不过是一滴渺小的水滴。可见数论虽是理性的科学，但却也透射出生命的意义，也有着一种哲学的意蕴。厄拉多筛法的出现教会了我们构造素数的方法，素数的无穷性证明更是充满了智慧的结晶与饱满的趣味。第二章我们学习了同余式。由同余的定义我
3、们可知道它是一种自反，对称，传递的关系，是一种等价关系。抽彖代数中的同余与等价关系的定义也是由数论衍生出来的，可见数论在数学界的举足轻重的地位。我觉得比较经典的定理是：如果a和b对模数m同余，则f(a)和f(b)对模数m同余，其中f(x)为任意给定的一个整系数多项式。关于完全剩余系我觉得比较经典的定理是：设ml>0,m2>0,(ml,m2)=l,而xl,x2分别通过模数ml,m2的完全剩余系，则m2xl+mlx2通过模数mlm2的完全剩余系。我觉得这个定理的出现便给了我们一种由两个模数互素的完全剩余系推演模数为那两个模数乘积的完全剩余系的方法。缩系是在与模数m互
4、素的全部剩余类屮，各取一数所组成的集合。说到缩系，就不得不提欧拉函数，欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数，它的值等于序列0,1,2,……，n-1中与n互素的数的个数。因此，模数m的一组缩系含有欧拉函数个数。当p是素数时，欧拉函数=»1。缩系的很多性质与定理和完全剩余系都是类似的，一些问题的证明方法也大体相同。由缩系的相关性质推出了费马小定理，它是后面内容学习的基础。设n的标准分解n=plAal*p2Aa2pkAak,则欧拉函数=n(l-l/pl)(l-1/pk)。我特别喜欢这个定理。一次同余式偏于计算与实践,它是基于之前的费马小定理推算出来的。孙子定理中我印象
5、比较深刻的是：一次同余组x=bl(modml),x=b2(modm2)可解的充分必要条件是(ml,m2)Ibl-b2,且当其可解时对模数[ml,m2]有唯一解。第四章我们学的是二次剩余。二次剩余是判断二次同余式是否有解的方法。勒让德符号：设p为奇素数，(p,n)=1,令(n/p)=1,若n是模数p的二次剩余，=-1,若n是模数p的二次非剩余。高斯利用他证明出来的高斯引理证明了二次互反律：设p>2,q>2是两个素数,p不等于q,则(p/q)(q/p)=(-l)A((p-l)(q-l)/4)。计算勒让德符号，需要把n分解成标准分解式，常常很麻烦，为了避开这个缺点，引
6、进了雅可比符号。第五章我们学习了原根。我非常喜欢的定理是：设a对数m的次数为1,y>O,aAy对模数m的次数为11,则ll=l/(y,l)o原根这的知识与欧拉函数还有缩系有密切关系。如果g是m的一个原根，那么模数m的一组缩系可表示成一组几何级数，这一点非常有用。但并非所有的正整数都有原根，若m有原根，则m必为下列诸数之一：2,4,pAl,2pT,这里l>=l,p为奇素数。我觉得这个定理极其重要，并且有高度的概括性。第六章我们学了素性判别方法。他们分别是费马判别法,莱梅判别法，还有solovay—strassen判别法。他们都凝结了一代又一代数学家的心血，同时又有
7、着非常广泛的应用。对数论的理解与学习过程问题总结数论，顾名思义，就是，对数的讨论，而更多地是对整数的讨论，尤其是整数的讨论。其实，我们从小学到高中很多数学内容都与数论有着密不可分的联系，如解方程问题，如分解质因数，如果说数学是一切自然科学的木源，那么数论便是数学的木源。数论是数学王国的众多柱子之他们共同支撑着科学的宝殿。虽然支持科学的支柱很多，但缺少任何一个都是万万不可以的，尤其是数论。在学习数论的过程中我曾三次感到迷茫，无力，怅惘。第一次是在刚刚开始学数论的时候，虽然我能理解整除性，也能理解辗转相除法，也能理解素数，整数的唯一分解定理,也能理解厄拉多塞筛法，虽
8、然老师讲的很仔细，很系统
