小波变换发展史

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1、小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析巾此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应川领域，特别是在信号处理、图像处理、语咅处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的乂一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和业的局域变换因而能右效地从信号屮提取信息，通过仲缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（MultiscaleAnalys

2、is）,解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。1•从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波來表示，开创了傅立分析。傅立叶分析揭示了时域与频域Z间内在的联系，反映了“整个〃时间范围内信号的“全部〃频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在吋域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。为了研究信号在局部吋间范围内的频谱特征，194

3、6年，Gabor提出了短吋傅立叶变换（ShortTimeFourierTransform,STFT）,彳艇STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT没有得到广泛应用的重要原1大I。从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。小波变换是以牺牲部分频域定位性能来取得时■频局部性的折衷。小波变换不仅能够提供较精确的时域定位，还能提供较精确的频域定位。我们所而对的真实物理信号，更多的表现出非

4、平稳的特性，小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号屮提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号迹行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与宣息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是吋问一尺度分析和多分辨分析的一种新技术,它在信号分析、语咅合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与

5、海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。2.小波分析的发展小波理论的兴起，得益于其对信号的时域和频域局域分析能力及其对一维有界函数的最优逼近性能，也得益于多分辨率分析概念，以及快速小波变换的实现方法。小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。第一个止交小波基是由Haar在1910年提出的，它就是人们熟知的Haar止交基，Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。它具有最优的时（空）域分辨率，但是Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。其后，1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论

6、（L-P理论）；1952年〜1962年，Calderon等人将L・P理论推广到高维,建立了奇异积分算子理论;1965年，Calderon发现了著名的再生公式,给出了抛物型空间上H1的原子分解;1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解；1976年，Peetre在用L・P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。70年代末，法国地球物理学家Morlet试图改进依赖于窗体位置和频率分量的加窗傅立叶变换分析方法，采用一种窗函数的收缩与平移构造基函数变换，并成功的应用于油气勘探的非稳定性地震信号分析。1981年，Stromberg对Haar系进行了

7、改进,证明了小波函数的亦在性。1984年，Morlet在分析地震波数据的局部性质时，发现川傅立叶变换难以达到要求，因此引入小波的概念应用于信号分析中，并用一种无限支集的非止交小波分析地震数据,这是第一次真正意义上提出了小波的概念。随后，Grossman和Morlet—起提出了确定小波函数伸缩平移系的展开理论。1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具