量子力学期末考试题及解答

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1、一、波函数及薛定谴方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式；a—vv（r,r）+V•J（r,r）=c;解答：由波函数的概率波解释可知，当讥小已经归一化时，坐标的取值概率密度为叽厂』）=”（厂,/）「=“'（厂,/）鸭（厂丿）（1）将上式的两端分别对时间『求偏微商，得到曲Z）-咕以F严Z）dtdtdt(2)若位势为实数，即/（厂）=v（厂），则薛定谡方程及其复共轨方程可以分别改写如下形式。妙(厂,r)~dt-Hr2m吟（胡专叫讪⑷）(3)rk2mVV(r,r)4-^-V(r)^：(r^)rt(4)将上述两式代入（2）式，得到°¥："=守"（r）v20（r）-叭厂』）沪『（几0二务％”（厂,

2、尸叭胡一叭m）V以胡］若令心苦务［心尸以门-心，尸讥切］?w（F）+V•丿（厂,/）=0dt此即概率（粒了数）守恒的微分表达式。2.若线性谐振子处于第一激发态(5)(6)(7)屮I(x)=Cexp122——a2求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数。〉0。解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知8一8

3、”](x)

4、dx=

5、C

6、2jx2exp(^-a2x2jdx=l利用积分公示80可以得到归一化常数为exp(-小叶囲0-1)!!2"+匕曲(2)(3)坐标的取值概率密度为2刃由坐标概率密度取极值的条件叽兀）=

7、竹（兀）『x2exp(-a2%2(4)-26Z2x3)e

8、xp(-6r2x2)=0(5)知叽兀）有五个极值点，它们分别是兀=0,土丄,±8a（6）为了确定极大值，需要计算叽兀）的二阶导数d2(、2a3j「2——w(x)=-t=-2—6qxdx2v7五I=(2-1Oar+4a4x4)exp(-a2x22-2a2x(2x-2^2x3)Jexp(-a2x2)(7)于是有d2dx24a3>0取极小值d2=0取极小值d2a取极大值(8)(9)(10)最后得到坐标概率密度的最大值为$3•半壁无限高势垒的位势为OOv()(x<0)(OQ)求粒子能量E在0vEv*)范围内的解o解答：按位势的不同将求解区间分为三个，分别记为I、II和III。在三

9、个区域中，满足有限性要求的波函数分別为小)=00(兀)=Asin(d+5)(1)iffy(x)=Bexp(-ax)其中(2)』2mE-ha---fr由x=0处的连接条件俗(0)=02(°)=°(4)知Asin力=0(5)即耍求8=n兀(/2=0丄2，・・・)(6)于是妙2(%)=Asin(fct+/r)=A(-l)nsin(fee)(7)再由x=a处的连接条件妁(a)=幻(a)(8)得到(9)A(-l)"sin(Zxz)=Bexp(-ax)A(-1)"Rcos(滋)=-Baexp(-ax)由上式可得(10)-tt(11)COt（A：€Z）=-—此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能用数值

10、法求解或用图解法求解。由于余切为负值，所以角度（肋）在第2或第4彖限。若令则式（10）可以写成(12)(13)sin（畑）=±^~若用作图法求解上式，则其解是曲线牙=sin（肋）(14)在第2或第4象限的交点。4.带电线性谐振了受到一个兀方向均匀电场£（）的作用，求其能级。设该线性谐振了的质量为m、电荷为q、角频率为0）。解答：在均匀电场作用下，带电谐振子的哈密顿算符为卅d21222mdx220设哈密顿算符满足本证方程〃必（％）=£>”（对利用配方的方法改写英势能项为V(x)=丄??-mofx2一咛若令=—mox2——max2X=x—理()mcoE=E+222maf宀迤X+mar72Ima

11、r理0mar丿22q吋Imar(1)(2)(3)(4)(5)则定态薛定谭方程可以写为-ft2d22mJX1此即正常的线性谐振了的能量木证方程，它的解为（\E=〃+—7r69I2丿利用式（4）、（5）可以得到电场屮线谐振子的本证解为（1E=77+—卄3—呵■"（2丿2咖22mar/兀_2(mar丿理（）aH”(7)(8)(9)5•已知做一维运动的粒子处于束缚定态(1•讣gp十求粒子的能量及所处的位势。其屮，A为归一化常数，6T=mco解答：将一维束缚定态薛定谬方程召2”2——+⑴鸭⑴二E0（x）改写为心4烈2m0(x)(1)(2)利用已知的波函数鸭（兀），计算它的一阶导数Arexp——oc

12、x1I2=A(1-6Z2x2)(1C「a*Jexp——a2x2进而求出0（对的二阶导数d2——肖(x)=A——(1-a~x~)exp—cx~x~dxdx=A(^-a2x-lorx+a4x3)(12Jexp——6T厂I2丿=（一3,+刃兀2）妙（兀）将上式代入式（2），得到心）"一止+斗22m2m(5)若lRx=0处的位势为零，则能量本征值为(6)u3^27r2E=2m将上式代入（5）式，立即得到位势的形式V(x)=2m(