奥数：小学奥数系列：第三讲数数与计算

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1、第三讲数数与计数(二)例1数一数，图3—1中共有多少点?解：(1)方法1：如图3—2所示从上往下一层一层数：第一层1个第二层2个第三层3个第四层4个第五层5个第六层6个第七层7个第八层8个第九层9个第十层10个第十一层9个第十二层8个第十三层7个第十四层6个第十五层5个第十六层4个第十七层3个第十八层2个第十九层1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1＝(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)＝55+45＝10

2、0(利用已学过的知识计算)．(2)方法2：如图3—3所示：从上往下，沿折线数第一层1个第二层3个第三层5个第四层7个第五层9个第六层11个第七层13个第八层15个第九层17个第十层19个总数：1+3+5+7+9＋11+13+15+17+19＝100(利用已学过的知识计算)。(3)方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3—4所示的样子，变成为0行10列的点阵．显然点的总数为10×10＝100(个)．想一想：①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋．②由方法1和方法3得出下式：l+2+3+4+5+

3、6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1＝10×10即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积．由此我们猜想：1＝l×11+2+1＝2×21+2+3+2+l＝3×31+2+3+4+3+2+1＝4×41+2+3+4+5+4+3+2+l＝5×51＋2+3+4+5+6+5+4+3+2+1＝6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1＝7×7l+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1＝8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9

4、×91+2+3+4+5+6+7+8+9+lO+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多．同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律．③由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19＝10×10．即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积．由此我们猜想：1+3＝2×2l+3+5＝3×31+3+5+7＝4×41+3+5+7+9＝5×51+3+5+7+9+11＝6×61+3+5+7+9+11+13＝

5、7×71+3+5+7+9+11+13+15＝8×81+3+5+7+9+11+13+15+17＝9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19＝10×10还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律．例2数一数，图3—5中有多少条线段?解：(1)我们已知，两点间的直线部分是一条线段以A点为共同端点的线段有：ABACADAEAF5条．以B点为共同左端点的线段有：BCBDBEBF4条．以C点为共同左端点的线段有：CDCECF3条．以D点为共同左端点的线段有

6、：DEDF2条．以E点为共同左端点的线段有：EF1条．总数5+4+3+2+1＝15条．(2)用图示法更为直观明了．见图3—6．还可以一直做下去．总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1．我们又发现了一条规律．它说明了点数与线段总数之间的关系．②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数(见图3—8)．基本线段数线段总条

7、数一条：二条：三条：四条：五条：还可以一直写下去，同学们可以自己试试看．例3数一数，图3－9中共有多少个锐角?解：(1)我们知道，图中任意两条从0点发出的射线都组成一个锐角．所以，以OA边为公共边的锐角有：∠AOB，∠AOC，么AOD，∠AOE，∠AOF共5个．以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，么BOD，∠BOE，∠B()F共4个．以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个．以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2个．以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个．锐角总数5+

8、4+3+2+1=15(个)．②用图示法更为直观明了：如图3-10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15(个)．想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1(个)，由此猜想出如下规律：(见图3—11～15)两条射线1个角(见图3—11)三条射线2+1个角(见图3—12)四条射线3+2+1个角(见图3—13)五条射线4+3+2+1个角(见图3—14)六条射线5+4+3+2+1个角(见图3—15)总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最