奥数：五级奥数.数论.质数与合数（b级）.学生版

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1、质数与合数知识框架一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3

2、，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.三、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的

3、质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：，（┖是短除法的符号）所以；一、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是

4、唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.重难点部分特殊数的分解；；；；；；；；.例题精讲【例1】自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【巩固】在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（）.（A）0(B)1(C)2(D)3【例1】已知P,Q都是质数，并且，则=【巩固】都是质数，如果，那么。【例2】如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是_____

5、______。【巩固】两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少?【例3】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？【巩固】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在100至200之间，则有分法（）。A、3种B、7种C、11种D、13种【例1】幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分2个苹果。原来有个小朋友。【巩固】2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的5的倍数的乘积。【例1】

6、三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【巩固】有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是527，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【例2】，都是整数，大于，且,那么的最大值为，最小值为。【巩固】写出所有数字和为11，数字乘积为20的四位偶数：________．【例1】图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【巩固】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个

7、号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？【例2】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？【巩固】用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．【例1】若，其中a、b都是四位数，且a

8、后把这个数分别写在正方体木块的个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【随练1】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证