奥数：五级奥数.几何.圆与扇形包含与排除和旋转对称（b级）.学生版

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1、包含与排除和旋转对称课前预习捆地球的绳子假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，取3.14）答案提示：地球赤道长：（千米），所以绳长40192千米；一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：（米），大约为16厘米，差不多有一

2、支铅笔长。简直不可思议！知识框架圆的知识：1.当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O叫做这个圆的圆心.2.连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3.连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.4.圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.5.圆周长=直径×π=半径×2π圆面积=π×半径扇形的知识：1.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.2.我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占

3、这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．3.扇形中的弧长=.扇形的周长=+2r.扇形的面积==.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。【一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法：1.常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2.包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。3.

4、旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算的方法。重难点重点：利用容斥原理就是重叠相减法求面积。旋转图形问题的重点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。难点：利用容斥原理如何对重叠部分的面积进行正确的处理。如何利用旋转对称对所求图形进行简化。例题精讲【例1】如图，直角三角形的边长分别为6，8，10，求阴影部分的面积．(取3)【巩固】如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，ABE是以C为圆心，AC为半径的圆弧．求阴影部分面积．【例1】图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？（用的式子表

5、示）【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米，（用的式子表示）【例3】如图所示，求阴影部分的面积。（用的式子表示）【巩固】(2008年四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，，，求阴影部分的面积．（用的式子表示）【例1】三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求三块阴影部分的面积之和。【巩固】四个小圆的半径都是5厘米，大圆半径为小圆的直径，求三块阴影部分的面积之和。【例1】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘

6、米.那么图中3个阴影部分的面积的和是多少平方厘米.【巩固】（2010年四中）四个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心，求四块阴影部分的面积之和。【例2】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)（用的式子表示）【巩固】一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)【例1】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使点再次落在这条直线上，那么点在翻滚过程中经过的路线总长度是

7、多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（用的式子表示）【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4CM和3CM的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5CM．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90度后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．（用的式子表示）【例1】如图所示，直角三角形的斜边长为10厘米，，此时长5厘米．以点为中心，将顺时针旋转，点、分别到达点、的位置．求边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(取3)（用的式子表示）【巩固】（2006年数学解