奥数:第3讲.构造与论证.学生版

奥数:第3讲.构造与论证.学生版

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1、第十三讲构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题.知识点拨各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体把握.设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.组合证明题,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则需要着眼于极端情况,或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题。

2、若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容,或通过染色求解的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色.例题精讲模块一最佳安排和选择方案一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作:每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的棋子回去.这样的操作,实际上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”).例题115卷本百科全书按从第1卷到第5卷

3、的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次?例题22有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子.问能否做到:、(1)某2堆石子全部取光?(2)3堆中的所有石子都被取走?例题33n支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所

4、有各队的积分都不相同,问:(1)n=4是否可能?(2)n=5是否可能?例题44如图35-1,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别填入图中的10个圆圈内,使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.例题55(2009年清华附中入学测试题)如图,在时钟的表盘上任意作个的扇形,使得每一个扇形都恰好覆盖个数,且每两个扇形覆盖的数不全相同,求证:一定可以找到个扇形,恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明,作个扇形将不能保证上述结论成立.例题66一组互不相同的自然数,其中最小的数是l

5、,最大的数是25,除1之外,这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中某两个数之和.问:这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时,这组数是怎样构成的?例题772004枚棋子,每次可以取1、3、4、7枚,最后取的获胜。甲、乙轮流取,如果甲先取,如何才能保证赢?例题88在10×19方格表的每个方格内,写上0或1,然后算出每行及每列的各数之和.问最多能得到多少个不同的和数?例题99在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子,使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?例题1010在下图中有16个黑点,它们排成了

6、一个4×4的方阵.用线段连接其中4点,就可以画出各种不同的正方形.现在要去掉某些点,使得其中任意4点都不能连成正方形,那么最少要去掉多少个点?例题1111三个边长为1的正方形并排放在一起,成为1×3的长方形.求证:.例题1212模块二染色与赋值问题某学校的学生中,没有一个学生读过学校图书馆的所有图书,又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过.问:能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C,使得甲读过A、B,没读过C,乙读过B、C,没读过A?说明判断过程.例题13134个人聚会,每人各带2件礼品,分赠给其余3个人中的2人.试证明:至

7、少有2对人,每对人是互赠过礼品的.例题1414甲、乙、丙三个班人数相同,在班级之间举行象棋比赛.各班同学都按l,2,3,4,…依次编号.当两个班比赛时,具有相同编号的同学在同一台对垒.在甲、乙两班比赛时,有15台是男、女生对垒;在乙、丙班比赛时,有9台是男、女生对垒.试说明在甲、丙班比赛时,男、女生对垒的台数不会超过24.并指出在什么情况下,正好是24?例题1515将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形.证明:无论怎样分法.分得的长方形中必有两个是完全相同的.例题1616在平面上有7个点,其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在

8、这7个点之字连结18条线段,那么这些线段最多能构成多少个三角形?例题1717在9×9棋盘的每格中都有一只甲虫,根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中,这样某些格中有若干只甲虫,而另一些格则

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