奥数：五级奥数.数论.因数个数(a级).学生版

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1、因数个数课前预习富翁打赌有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。贪财好利是他们的共同特点。一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。精明的富翁说：“我可以每天给你1万元，只收回你1分钱。”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我1万元，别说我给你1分钱，就是再给你1千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我1分。”“难道你第二天还要给我1万？”“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的1万，要给我2分。第3天……”没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我1万，我给你“4分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。”吝啬的富翁

2、心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我1万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”“我是人人都知道的百万富翁。”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出30万，先送你一个月足够了。但是你给我的钱也1分不能少！”吝啬的富翁怕精明的富翁反悔，提出要签协议。吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”于是他们找来了几个公证人，签了协议。吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼。天刚亮，对方提着1万元送上门来，按约定他给了对方1分钱。第二天，对方仍然如约送来了1万元。他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。对方高高兴兴地拿走了2分钱，

3、还叮嘱：“别忘了，明天给我4分钱！”可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌。对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。聪明的小朋友，你们说这是为什么？原来呀，吝啬的富翁在1个月内共得到300000元。他需要付给对方的钱，总数是：1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。这是一个何等大的数目呀，吝啬的富翁当然会把全部家当都输光了。知识框架一、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1．求最

4、大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515

5、和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求．二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍数；例如：，所以；③．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘

6、积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求．例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．2．两个数的最大公

7、约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最