数学在量子化学中的应用

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1、需数学在量子化学中的应用2010年入学，从人二选择专业、开始专业课程学习至今差不多已经有一年了。回顾这一年的专业学习，印象最深也让人觉得最为神奇的莫过于数为与化学的紧密联系。小到实验数据的处理，大到经典公式推导，数学无不起着极其重要的作用。为了缩小论述范围，我主要谈一谈数学在量子化学中的应用。最子化学经常被称作结构化学，谈起结构化学，首先想到的便是分子结构：正四面体的甲烷分子，直线型二氧化碳分子，正八面体的六氟化硫，还有非常神奇的C60足球烯……可以发现这些分子都具有一定的对称性的：轴对称、面对称以及中心对称。首先我们定义：（

2、1）如果将图形中每一点绕某一轴线旋转一定的角度a后图形复原，那么称此轴为Cn轴，n代表旋转360。后复原次数。（2）将图形式屮每一点移动到某一平面相反方向并与此平面等跖离处（即做镜面对称）的操作称为反映，记为。。（3）将图形中每一点移动到某点相反方向等距离处（即做中心对称）的操作称为反演，记为i0联系数学中的矩阵思想，我们可以这样设想：将一个分子置于空间肓角坐标系中，并使分子的质量中心与原点重合，分子中的每个原子都有白己的坐标，这样上述操作便可以以成原坐标乘一个矩阵实现。上述三个操作便可以转化为：cosMIn丿000<10()

3、、<-100、010■1=0-10<00j丿•1丿上述单个操作对有的分子无法复原，这时我们可以把不同操作联合起來，如下图的分子,无论是旋转还是反演都无法复原，我们可以先旋转一次，再进行反演。反映在矩阵上此次操作便表示为两矩阵相乘：iC4。因此，用不同的操作相乘我们便可以得到一系列乘法表。让我们以水分子为例。可以看见水分子为V型分子，因此有一个C2轴，有两个。轴。我们再定义单位矩阵为E,则可得水分了的乘法表：C2vEO；b”入EEC住％C*o；E%by6fbg£C66JUEC2、群的乘法农将h20所具有的对称操作的集合称

4、为一个群，我们可以很容易的得出-•个群的性质：(1)集合中任意两个元素的积，必为集合中的某一元素。(2)集合G中的各元索Z间的运算满足乘法结合律，即三个元索相乘其结果和乘的顺序无关，即乘法结合律:(AB)C=A(BC)。(3)有单位元素：集合G中有一元素E,称为单位冗素，它使群中任一元素满足:ER=RE=Ro(4)有逆元索：集合G中任一元素R均有具逆元索，并且RR~[=R']R=E.仔细观察，这不就是线性代数中线性空间的定义么！从这里我们找到了抽象的线性空间在实际中的真实含义。类比水分了，SO?分子等等的V空分子都具有和同的操

5、作群。我们将具有相同操作群的分子划归为一类，如以水分子为代表的Cb群，每个群里所有的分子都有相同的对称性。这样，我们便可以将繁杂的分子抽象为不同的数学模型，并进一步研究其分子偶极矩，色散力及旋光性。在化学的发展历史当中，数学常常起着关键的作用。许多化学现象及规律在人们明了其原理Z前，便已经冇数学家总结规律并给岀正确公式了。这些公式建立在大量实验数据基础上,数学家从繁杂的实验数据中总结规律并给予前瞻性的建议，以此为方向化学家进行研究,往往能得出与实验结果符合良好的理论。十九世纪八十年代，当众科学家纷纷试图钻研氢原了光谱的规律时，

6、这规律却被当时一位还是数学教师的巴尔末解了出来。通过仅仅四条实验数据，他推出了氢原子光谱可见光范围内的规律，得到了巴尔末公式。巴尔末公式计算出的波长与实际测量值的误差不超过波长的1/40000,吻合得非常好。随后巴尔末乂继续推算岀当时己发现的氢原子全部14条谱线的波长，结果和实验值完全符合。最终里徳堡通过巴尔末公式的形式推导出了更普适的氢原子光谱公式，与各个光谱系的实验结果符合的很好。continuumQkJoArPfundseries4Brackettseries卩-82kJ3PaschenseriesEFP-146kJ2,

7、Balmerseries帝_328kJ11-Lymanseries1312kJ在一个新的理论建立的过程中，数学更常起的是验证的作用。即建立理论模型，通过数学演算得到一个结果，与实验结果相对照以证明其正确性。在这方面有一个典型的例子：薛定谴方程推测分子的吸收光谱。薛定谭方程来源于波函数的驻波方程。虽然它被定义为物理方程，但在推导过程中应用了许多数学知识，如拉普拉斯变换、复合链式求导法则、欧拉方程、线性蒂加思想等等。下为三维粒子的薛定谱方程：°272［一＞（£+-yr++v（兀，”z）"（兀，y,z）=Eg、y,z）2mdx~ay

8、az以花菁染料为例，已知花菁分了式与分了长度L,r个烯基（吸收基团），2r+4个“电了。通过一维薛定谭方程求解E——即粒了能虽（在这里盂构建一维无限深势阱模型），然后通过E=hv求出频率,继而求出波长。AE~h~(r+3)2-(r+2)2Sml2/z(2厂+5)Sml2波长令