6-7学人教a版选修-.4.全称量词　存在量词学案

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1、_1.4全称量词与存在量词1.4.1　&1.4.2　全称量词　存在量词全称量词与全称命题观察下列语句：(1)x≤2；(2)2x是偶数；(3)对于所有的x∈R，x≤2；(4)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．问题1：以上语句是命题吗？提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题，且(3)是假命题，(4)是真命题．问题2：语句(3)与(1)有什么不同？提示：语句(3)在(1)的基础上，加了对x范围的限定条件“对所有x∈R”．问题3：语句(3)和(4)有什么共同特点？提示：都有对变量x的限定条件：“对所有的x∈R”，“对任意一个x∈Z”．全称量词和全称命题全称量词所有的、任给、每一个、

2、对一切符号∀全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词与特称命题1．观察下列语句：(1)4x＋2＝10；(2)x能被5,8整除；(3)存在一个x0∈R，使2＋x0＋2＝10；(4)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．问题1：以上语句是命题吗？提示：(1)(2)不是，(3)(4)是，且都是真命题．问题2：语句(3)(4)有什么特点？提示：含有对变量x取值的限定条件“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示∃特称命题含有存在量词的命题形式

3、“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号记为“∃x0∈M，p(x0)”判断一个语句是全称命题还是特称命题时，首先要判断语句是否是命题，然后分析命题中所含量词，含有全称量词的是全称命题，含存在量词的是特称命题．有些全称命题中虽然不含有全称量词，但我们可根据命题所涉及的意义去判断，如“实数的绝对值是非负数”，省略了“任意”，但它仍然是全称命题．全称命题与特称命题的辨析[例1]　判断下列语句是全称命题还是特称命题．(1)有一个实数α，使tanα无意义；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形的对角互补；(5)指数函数都是单调函

4、数．[思路点拨]　先判断量词类型，再判断命题类型．[精解详析]　(1)是特称命题．α＝时，tanα不存在．(2)不是命题．(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题．(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题．(5)虽然不含逻辑联结词，但其实是指“所有的指数函数都是单调函数”，省略了“所有的”，所以该命题是全称命题．[一点通]　判断一个语句是全称命题还是特称命题可分三个步骤：(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题

5、是特称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．1．下列语句是特称命题的是(　　)A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n能被11整除C．若3x－7＝0，则x＝D．∀x∈M，p(x)解析：B中含有存在量词“存在”．答案：B2．下列语句是全称命题的是________(填序号)．①三角形两边之和大于第三边；②所有的x∈R，x3＋1>0；③有些函数为奇函数；④平行四边形对角相等．解析：③为特称命题，①④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．答案：①②④用“∀”或“∃”表示全称命题或特称命题[例2]　将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)整数中1最小；(2)方程a

6、x2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1＞0；(4)若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任一直线．[思路点拨]　先判断命题是全称命题还是特称命题，再用符号表示．[精解详析]　(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x0＜0，ax＋2x0＋1＝0(a＜1)．(3)∃x0∈R,2x0＋1＞0.(4)若l⊥α，则∀a⊂α，l⊥a.[一点通]　全称命题表示为“∀x∈M，p(x)”的形式；特称命题表示为“∃x0∈M，p(x0)”的形式．3．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x0满足x＝3.(3)对任意角α，都有si

7、n2α＋cos2α＝1.解：(1)∀x∈{x

8、x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x0∈Q，x＝3.(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.全称命题和特称命题真假的判断[例3]　给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x0∈Z，x<1；④∃x0∈Q，x＝3.其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填上)．[思路点拨]　首先正确理解命题的含义，再采用举反例等方法给予判断．[精解详析]　①∀x∈R，都有x2≥0，因而有