量子力学第四版卷一(曾谨言著)科学第7章

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1、［证明］根据止则方程组:、q2px__4c.1(.Vv=-P“I八cia-q；Px____A-^［px,Ay］--^-{Ax,py正则动量与梯度算符相对应，即^=-V，因此［px.py=O抄,久］-又刁仅与点的坐标冇关［Ax，入fi2c(因B=VxA)Q__—jU2ci^dx勿丿/Z2c其余二式依轮换对称写出。P368证明在规范变换下P=0屮(1)1*AZ/Zpc第七章：粒子在电磁场中的运动P367——7.1,7.2证明在磁场鸟屮，帯电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系:(1)(2)(3

2、)..dHq1Vv=^=3—'H=dPx.1(v=—A“I同理欽讥』'J）是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方:AJ(机械动量的平均值)都不变(3)20式)(证明)如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换(P368屮Tehciff(4)则薛定铐方程形式不变，将(4)代入(1)式等号右方，设变换后儿率密度:(iqfX(iqf、i(lf/P=ehci//ehc0-ehcl/f*J))P=P又设变换后几率流密度是丿"，将(4)代入(2)式右方，同时又代入iqfiqfiqf

3、iqfehc鸭*pehcif/—ehcy/Pehcy/iqfiqfhcIff*ehe申(5)注意到算符的对易关系(6)推广到三维：(>,VF(f))=4vF(r)i妙令F(r)=ehc则有:iqfC(7)⑻iqfiqfehc(9)=+(0*刚_师鸭*)_旦2艸*将(7)(8)代入(5)式等号右方第一项第二项，(5)式成为:yehcp-^fY__L(2+Y/*W*c丿皿在证明第3式吋，设变换后的v是Vo写出右方平均值的显式，用(4)的波数变换，和(4)'的矢势的变换式：—JJIehciQf屮P--l

4、c_iqfiqf=fjfehc0*Pehc前式第一个积分可重复用（7）式，得：B+铲f吟一訓JV（入+Y/*Jqf(、xiqfy/dr-—^ehcA+V/*Jqfiqf/闻=jjjehchc=j)-~A単ii=何命题得证P382——7.47.1——3.137.2——3.127」）设带电粒子在互相垂直的均匀电场£和均匀磁场B中运动，求能级本征值和本征。（参《导论》P225）个解：以电场方向为兀轴，磁场方向为z轴，则£=(£,0,0),B=(oe⑻（1）去电磁场的标势和矢势为A=(0,Bx,0)0=—£X

5、，(2)满足关系粒子的Hamiton量为H=—2u22+化—q&(3)取守恒量完全集为（H,ppj,它们的共同本征函数可写成汎兀,y,z)=加(4)其屮代和巴为本征值，可収任意函数。••妙（x,y,z）满足能量本证方程：Hif/（x,y,z）=£＞（x,y,z）因此妙（x）满足方程YP./+IPv-2+P：呎兀）一q氏呎兀）=E叭x）亦即，对于0（兀）来说，H和F式等价:2udx2ZuC2兰毛+理(_J一必^*丄伙*打2udx22uC202uC202“'〉2其中uC2%(,=7FUC(C£tPyB(5

6、)(6)(7)式（6）相当于一维谐振子能量算符再加上两项函数，因此本题能级为"+—tico-2丿(］、hBq12>uCC2e2uCe1寸一飞p严云puC—+「U)咋+SF,2udx227q2B221(2時"。+五伉+卩其中匕和P:为任意实数，/?=0,1,2，…式（4）屮为以妙（兀）为（x-x0）变量的一维谐振子能量本征函数，即呎兀）=/（兀一兀0）=比（软歹/2(8)(9)h”g）为厄密多项式，§=罟（%一无。）=J总■（无一兀。）o7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场2和均匀磁场方中运动，求

7、能级本征值和本征函数。解：以电场方向为兀轴，磁场方向为z轴，则£=（£,0,0）,B=（0,0,B]（1）去电磁场的标势和矢势为(2)满足关系£=一7比B=VxA粒子的Hamilon量为H二舟P；+Py~22+-qex取守恒量完全集为(H,p、„pj,它们的共同本征函数可写成屮&y,z)=呎兀订""％)"其中C和F为本征值，可取任意函数。修(x,y,z)满足能量本证方程：H妙(x,y,z)二Ep(兀,y,z)因此妙(x)满足方程亦即，对于妙(x)来说，H和F式等价:p；呎兀)一qEx呎兀)=E呎兀)

8、x+qB)牛令+诙吃诙%2+卩「其中uC2%()=7FqBUC(C£^PyB(3)(4)(5)(6)(7)式(6)相当于一维谐振子能量算符护j1*无詰+T"(X_%0b3uC再加上两项函数，因此本题能级为1+皿-I2丿q221,22時"。+五伉5(］、hBq12>uCC2e2uCe122B2By2u*其中匕和P:为任意实数，/?=0,1,2,...式(4)屮为以妙(兀)为(x-x0)变量的一维谐振子能量本征函数，即(9)心）=0”（X-兀（））=比缺曲