6届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：导数的应用（）

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题．2.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.利用极值或最值求解参数的取值范围，如2012年浙江T22等．2.利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点的个数等，如2012年福建T20等．3.利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，如2012年天津T20等.[归纳·知识整合]1．生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤[探究]　1.求实际问题中的最大、最小值，与求一般函数

2、的最值有什么区别？提示：在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义．另外，在求实际问题的最值时，如果区间内只有一个极值点，就是最值点．2．如何求实际问题中的最值问题？提示：有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件　　　　　　　　B．1

3、1万件C．9万件D．7万件解析：选C　∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81，令y′＝0，则x＝9.2．(教材习题改编)从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(　　)A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3解析：选C　设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0

4、造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径为________时，每瓶饮料的利润最大，瓶子半径为________时，每瓶饮料的利润最小．解析：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π，00.则f(r)的最大值为f(6)，最小值为f(2)．答案

5、：6　24．函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．解析：f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.答案：(－∞，0)利用导数研究函数的零点或方程的根[例1]　(2012·福建高考)已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲

6、线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.[自主解答]　(1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y

7、＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝f(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－ex0＋2a(x－x0)．①若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合题意．②若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)