奥数：第十四讲等量代换法

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1、第十四讲等量代换法例1已知：△+○＝24，○＝△+△+△，求△＝?○＝?解：将两个等式编号：△+○＝24(1)○＝△+△+△(2)将(1)式中的○用(2)式中的3个△代替得△+△+△+△＝24∴△＝24÷4＝6，又○＝6+6+6＝18．例2已知：(见下图)求：一个□等于几个○．解：由已知的天平图改写成等式：2×△＝6×○(1)3×□＝3×△(2)由(1)式得：△＝3×○(3)由(2)式得：□＝△(4)将(3)式代人(4)式得：□＝3×○，即一个□等于3个○．例3已知：(见下图)求：最大的球的重量是多少克?解：由图(1

2、)得：3●＝2●+48，所以●＝48(克)．由图(2)得：3○＝2●，即：3○＝2×48。所以○＝2×48÷3＝32(克)．由图(3)得：＝4○＝4×32＝128(克)．例4一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍．问买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔?解：方法1：列出下列等式：1支钢笔＝5支铅笔(1)改写30支铅笔＝6×5支铅笔(2)把(1)式代人(2)式得：30支铅笔＝6×1支钢笔＝6支钢笔．方法2：用字母X代表1支钢笔的价钱，用字母Y代表1支铅笔的价钱，依题意可列出等式：X＝5Y因为30Y=6×5Y用X代替5Y得3

3、0Y＝6X．说明：X＝1×X省略了1和“×”号，即表示1个X；5Y＝5×Y，省略了“×”号，即表示5个Y．例5已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量．问多少个李子的重量等于1个桃子的重量?解：由题意列等式：13李＝2苹+1桃(1)4李+l苹＝1桃(2)把(2)式代入(1)式得：13李＝2苹+4李+1苹即9李＝3苹即3李＝1苹(3)把(3)式代人(2)式得4李+3李＝1桃即7李＝1桃即7个李子重量等于1个桃子的重量．例6如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一

4、半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量．问这条鱼有多少公斤重?解：依题意列出下列等式：尾＝4(1)头＝尾+身÷2(2)身＝头+尾(3)由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把(2)式两边同乘以2得：2头＝2尾+身(4)把(3)式代人(4)式得：2头＝2尾+头+尾即：头＝3尾＝3×4＝12(公斤)身＝头+尾＝12+4＝16(公斤)∴全鱼＝头+身+尾＝12+16+4＝32(公斤)．习题十四1．已知：(下图所示为简易天平)求：一个柿子的重量是多少克?2．桔子和苹果共有360个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子和苹果

5、各有多少个?3．小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了l元3角5分钱．已知3支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等．求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱?4．在生物课外活动中，同学们种花生比白薯多105棵，又知花生棵数是白薯的16倍，求花生、白薯各多少棵?5．假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛}那么用5头牛可换多少只兔子?6．商店运来两桶油．大桶有油120斤，小桶有油90斤．两桶油卖出同样多后，大桶剩的油刚好是小桶剩的油的4倍，问两桶各剩油多少斤?7．兄弟俩各有书若干本．只知兄的书为弟的书的3

6、倍；但若兄给弟10本书，则弟的书将为兄的书的3倍．问兄弟二人原有书各多少?习题十四解答1．解：为书写简便，做以下规定：用字母x代表一个柿子的重量；用字母y代表一个苹果的重量；用字母z代表一个梨的重量；这样就可以用下列等式表示题中的天平图：x＝6y(1)2y＝3z(2)2z＝60克(3)由(3)式可得：z＝30克．代人(2)式得2y＝3×30＝90克则y＝90÷2＝45克．代入(1)式得x＝6×45＝270(克)．2．解法1：桔子个数＝2×苹果个数(1)桔子个数+苹果个数＝360(2)把(1)代入(2)得：2×苹果个数

7、+苹果个数＝360即3×苹果个数＝360∴苹果个数＝360÷3＝120个而桔子个数一2×120—240个．解法2：设桔子为x个，苹果为y个，由题意列等式：x=2y(1)x+y＝360(2)把(1)代人(2)式得：2y十y=360且3y=360得y=360÷3=120(个)(苹果)而x=2y=2×120=240(个)(桔子)．3．解：因为3支铅笔的价钱＝2个笔记本的价钱(1)那么6支铅笔的价钱＝4个笔记本的价钱(2)又因为6支铅笔的价钱+5个笔记本的价钱＝135(分)把(2)式代入得：4个笔记本的价钱+5个笔记本的价钱

8、＝135(分)即9个笔记本＝135(分)∴1个笔记本＝135÷9＝15(分)把1个笔记本的价钱代人(1)式得3支铅笔＝2×151支铅笔＝2×15÷3＝10(分)．4．解法1：依题意列出下列等式：花生－白薯＝105(1)花生＝16×白薯(2)把(2)式代入(1)式，得：16×白薯－白薯＝105(棵)即15×白薯＝105(棵)所以白薯＝105÷15