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1、中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题智康・刘豪【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题，相信很多同学已经有所掌握了。但是静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态问题。从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面,在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，
2、我们着重研究一下动态几何问题的解法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。第一部分真题精讲【例1】（2010,密云，一模）如图，在梯形ABCD^V，AD//BC,AD=3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M从B点、出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为f（秒）.（1）当MN//AB时，求/的值；（2）试探究：/为何值时，AMNC为
3、等腰三角形.【思路分析本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（2）由题意知，当M、N运动
4、到/秒时，如图①，过D作DE//AB艾BC于E点、,则四边形ABED是平行四边形.EMVAB//DE.AB//MN.DE//MN.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）.MC_NC9~ec~Td（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）10-2/_r10-35解得唧【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN二NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一
5、个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：①当MN=NC时，如图②作NF丄交3C于F,则有MC=2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）CD/•cosZC=—、5・・・10-2r=2x—,5解得②当MN=MC时，如图③，过M作丄CQ于H.则CN=2CH,・・・f=2(10—2/)x=.60•=—.17③当MC=CN时，则10-2r=r.10t=•3综上所述，当r=—.聖或巴时，△MNC为等腰三角形.8173【例2】（2010,崇文，一模）在AABC中，ZACB=452.点D
6、（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.（1）如果AB=AC.如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.（2）如果ABHAC,如图②，且点D在线段BC上运动.（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4^2,BC=3,CD=X,求线段CP的长.（用含兀的式了表示）图⑴圉⑵【思路分析门本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运
7、动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：TAB二AC,ZACB=452,.ZABC=452.由正方形ADEF得AD=AF,VZDAF=ZBAC=90?,・ZDAB=ZFAC,・*.ADAB^AFAC,・ZACF=ZABD.AZBCF=ZACB+ZACF=90^.即CF±BD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC
8、的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CF丄BD.（1）中结论成立.A理由是：过点A作AG丄AC交BC于点G,・・・AC=
