奥数：五级奥数.数论.完全平方数（b级）.学生版

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1、完全平方数知识框架一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p

2、是质数，n是自然数，N是完全平方数，且，则．性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00

3、，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。一、重点公式回顾：平方差公式：重难点完全平方数是数论板块中一个比较

4、精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点例题精讲【例1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?【巩固】是的平方．【例2】A是由2002个“9”组成的多位数，即，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【巩固】是由2008个“4”组成的多位数，即，是不是某个自然数的平方？如果是，写出；如果不是，请说明理由．【例1】在，，，，，……等这些算是中，4，9，16，25，36，……叫做完全平方数。那么，不

5、超过2007的最大的完全平方数是_________。【巩固】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【例1】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【巩固】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【例2】已知自然数满足：除以得到一个完全平方数，则的最小值是。【巩固】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【例1】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全

6、平方数？【例2】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【巩固】两个完全平方数的差为105，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【例1】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【巩固】由，可以断定最多能表示为个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定490最多能表示为__________个互不相等的非零自然数的平方之和．【例2】由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是某个由偶数码组成的数的完全平方，求这个四位数.【巩固】有一个四位数，

7、千位数比百位数大1，百位数比十位数小2，个位数比十位数大1，且这个四位数恰好是某个整数的平方，求这个四位数.【例1】求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。【巩固】用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？课堂检测【随练1】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【随练2】有四个数①921438，②76186，③750235，④2660161，其中只有____是完全平方数.【随练3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？家庭作业【作业1】下面一个

8、算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？【作业1】下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？【作业2】如果△+△=，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，