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1、毕业设计（论文）开题报告题矩阵多项式方程求解方法探讨学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号：201241210115学生姓名：姜孝雄指导教师：明廷桥2015年2月15日1•课题来源数理学院毕业论文选题.2•研究目的和意义Sylvester方程［1］在工程应用与数值解等很多领域都起着很重要的作用。Sylvester方程是一类非常重要的矩阵方程。它的应用也非常广泛。Sylvester方程又称为广义的Lyapunov方程。Sylvester矩阵方程在求解问题(包括精确解和数值解)的应用上很常见，其中对精确解在稳定性等应用中很重要，鉴于
2、这个Sylvester矩阵方程在数学等各个领域的重要性，近几年数学界专家对各Sylvester矩阵方程解的存在性和表现形式进行了探讨，得到了一些有效的算法和定理。解的存在性及表现形式是一个目前尚未研究的问题，相信对于此类问题的研究将会丰富矩阵方程理论，从而可以获得更广泛的应用.3•国内外研究现状和发展趋势近年来，西尔维斯特方程是数学研究的热点问题之一。Sylvester方程在控制理论和应用广泛应用，它可以应用于极，鲁棒极点配置，以及特征结构配置［1］和其他问题等领域。通过构造AX-XB=C的解，能控性和能观性矩阵Sylvester方
3、程［2］中的，(Bartels-Stewart)算法是最经典的西尔维斯特方程数值求解算法。AX-YB=C和AX+YA二C(A,B为n阶方阵，X,Y为m阶方阵)中最优逼近解的四元数为Sylvester方程的一种变形，多项式方程AX-EXB=C(A,E为n阶方阵,B为m阶方阵，C为m行n列矩阵)在线性代数里也很常见的。由于对角化算法数值稳定性比较差，因此延伸一种叫作Ilessenberg-Schur的算法。该算法用来优化算法效率，是目前最实用的Semi-Sylvester方程的算法，牛顿算法是一种无约束优化算法，其基本思想是利用二次函数
4、近似目标函数，牛顿算法在这里也广泛应用,而投影算法作为最优化问题的梯度更是得到了数学爱好者的青睐。众所周知，矩阵也能应用于特征值问题的领域。还冇讨论多项式矩阵方程(T+A)X(A)4-Y(A)(I4-aB)=C解的存在性以及解的形式是非常重要的问题。4•本课题的主要研究内容及拟采取试验方案木文主要研究内容如下：第1章中，了解矩阵多项式方程的一些基本概念和结论，然后说明Sylvester方程的概念和Sylvester方程-些定理和基木引理。还有自由模及其基底的概念。第2章中，在QX（入）二8Y（入）二0条件下讨论在各种情形下（H-AA
5、）X（A）4-Y（A）（I+AB）=I解的存在性，并证明这个条件下的每种情况下有解的充分必要条件。接着，证明在8X（入）二刃（入）二0的条件下多项式矩阵方程解的存在性（除A为幕零阵外）。第3章中，先研究矩阵方程（i+aa）x（a）+y（a）（t+ab）=i的等价变换形式，在自rti模的秩为4的环下，证明所有齐次解构成的集合。然后我们将讨论怎么求该方程在等价形式下的齐次解。垠后，通过一个例了，告诉我们怎么求解原方程的齐次解,以及怎么去选取矩阵&（A）,Qi（入）,卩2（入），Q2（入）。5•研究基础Roth证明了当A,B,C均为n阶方
6、阵时，解存在的充分必要条件为其中〜为相似，如A〜B表示A相似于B.Gustafson扩大了该条件，证明了当A为ri阶方阵，B为m阶方阵，C为n行m列矩阵时，多项式方程解存在的充分必要条件为（ACUA°）VOVOB）Wimme捉出，当A,B,C为n阶方阵时，多项式方程AX-XB=C存在埃米特方程的解相当于非奇异矩阵R,使英屮R*为R的共轨转置矩阵。当A为m阶方阵，B为n阶方阵，C为m行2列矩阵时，如果A,B满足Vaea(A),VbEa(B)Re(a)<0,Re(b)>0则解为X=-^CeAte~Btdi其中o(A)表示矩阵的谱集。对丁
7、•该方程解的表达形式,能提出一些不同的数值算法[8-10]oRutherford证明了当A,B没有相同特征根时，AX-XB=C则有唯一解。唯一解也是Sylvester多项式方程性质屮的一个重点。Sylvester-Rosenblum定理⑵表示:对J*VC,假设o(A)Aa(B)=0,则AX-XB=C有唯一解。Hartwig延伸了Roth的定理，证明了在含幺正则环屮，解X,Y存在的充分必要条件为(ACUA°)VOB)VOB)Baksalary与Roth定理所给条件不同，他提出AX・YB=C解存在的充分必要条其屮A~,B~满足AA~A=
8、AtBB~B=B4•预期达到的目标及进度安排本文对矩阵多项式方程求解方法的探讨做了详细地分析，并深度挖掘，争取有创新突破，形成自口己特色的理论体系。为有准备有计划的做好论文工作,特制定如下进度计划：2015年11刀9日一2015年11
