4《成才之路》高一数学（人教a版）必修4能力提升：-3-、3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

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1、亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！能力提升一、选择题1．已知＝(2,3)，则点N位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．不确定[答案]　D[解析]　因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．2．已知M(2,3)、N(3,1)，则的坐标是(　　)A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1

2、)D．(1，－2)[答案]　B[解析]　＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．3．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　a＝＝－＝，λa＝a＝，故选A.4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(　　)A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)[答案]　D[解析]　由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4

3、a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．5．(2011～2012·凯里高一检测)已知向量a、b满足：a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a、b的坐标分别为(　　)A．(4,0)、(－2,6)B．(－2,6)、(4,0)C．(2,0)、(－1,3)D．(－1,3)、(2,0)[答案]　C[解析]　∵a＋b＝(1,3)　①a－b＝(3，－3)　②∴①＋②得：a＝(2,0)．①－②得：b＝(－1,3)．6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka

4、＋lb，则k、l的值为(　　)A．－2,3B．－2，－3C．2，－3D．2,3[答案]　D[解析]　利用相等向量的定义求解．∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，即，解得：k＝2，l＝3.二、填空题7．已知＝(3,4)，B(2，－1)，则点A的坐标是____________．[答案]　(－1，－5)[解析]　设A(x，y)，则＝(2－x，－1－y)＝(3,4)．故解得x＝－1，y＝－5.8．已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，

5、则点P的坐标是________．[答案]　(－1，－)[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)．∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．即，解得，∴P(－1，－)．9．(探究题)设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝________.[答案]　[解析]　设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即解得因此，＝.三、解答题10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的

6、中点，MN与AD交于点F，求.[解析]　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，所以F为AD的中点，故有＝＝－＝(1.75,2)．11．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，将下列向量表示成xa＋yb的形式．(1)p＝(2,3)；(2)q＝(－3,2)．[解析]　xa＋yb＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．(1)由p＝(2,3)＝(x＋y，x－y)，得

7、即　所以p＝a－b.(2)由q＝(－3,2)＝(x＋y，x－y)，得即所以q＝－a－b.12．已知向量u＝(x，y)与向量ν＝(y,2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标．[解析]　(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋n

8、b2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－