4高考数学一轮复习热点难点精讲精析.计数原理

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1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：11.1计数原理一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理※相关链接※1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。※例题解析※〖例〗在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？思路解析：采用列举法分类，先确定一个加法

2、，再利用“和大于20”确定另一个加数。解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20，1种取法。当一个加数是2时，另一个加数可以是19，20，2种取法。当一个加数是3时，另一个加数可以是18，19，20，3种取法。……当一个加数是10时，另一个加数可以是11，12，……，20，10种取法。当一个加数是11时，另一个加数可以是12，13，……，20，9种取法。……当一个加数是19时，另一个加数是20，1种取法。由分类加法计数原理可得共有1+2+3+……+10+9+8+……=100各取法。（二）分步乘法计数原理的应用※相关链接※

3、1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取※例题解析※〖例〗某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。某人想先选定吉利号18，然后从01到

4、17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？思路解析：本题中要完成选彩票这件事，必须把1到17中的3个连续号，19到29中的2个连续号，30到36中的1个号都选出才算完成这件事，所以完成这件事可分三步，用分步乘法计数原理解决。解答：第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步：从30到36中选1个号有7种选法。由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7=105

5、0注，故至少要花1050×2=2100元。（三）两个计数原理的综合应用〖例〗用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数。思路解析：先根据条件把“比2000大的四位偶数”分类选取千位上的数字选取百位上的数字选取十位上的数字。解答：完成这件事有3类方法：第一步是用0做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还

6、有3种选法。依据分类乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3=48个；第二步是用2做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法。依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3=36个；第三类是用4做结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类。对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的的比2000大的四位

7、偶数有4×4×3+3×4×3+3×4×3=120。注：（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某

8、一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。二、排列与组合（一）排列数、组合数计算※相关链接※1．排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数。公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；2．组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的