3.简单的三角恒等变换作业word版含解析高中数学人教a版必修4

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1、[A.基础达标]1．已知sinα－cosα＝－，则sin2α的值等于(　　)A.　　　B．－C．－D.解析：选C.由sinα－cosα＝－，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，所以sin2α＝－.2．若sin(π－α)＝－且α∈(π，)，则sin(＋)等于(　　)A．－B．－C.D.解析：选B.由题意知sinα＝－，α∈(π，)，∴cosα＝－.∵∈(，)，∴sin(＋)＝cos＝－＝－.故选B.3．已知450°＜α＜540°，则的值是(　　)A．－sinB．cosC．sinD．－cos解析：选A.因为450°＜α＜540°，

2、所以225°＜＜270°.所以cosα＜0，sin＜0.所以原式＝＝＝＝＝＝＝－sin.故选A.4．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)A．1B．－1C．0D．±1解析：选C.∵sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.5．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值是(　　)A．1B．2C.＋1D.＋2解析：选B.f(x)＝(1＋tanx)cos

3、x＝cosx＝sinx＋cosx＝2sin.∵0≤x<，∴≤x＋<π，∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2.6．(2014·高考山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋，其周期为T＝＝π.答案：π7．已知sin＋cos＝，则cos2θ＝__________.解析：因为sin＋cos＝，所以1＋sinθ＝，即sinθ＝，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.答案：8．在△ABC中，若cosA＝，则sin2＋cos2A等于________．解析：在△AB

4、C中，＝－，所以sin2＋cos2A＝sin2＋cos2A＝cos2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝－.答案：－9．化简.解：＝＝＝＝1.10.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？解：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈.∵A，D关于原点对称，∴AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的

5、面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.∵θ∈，∴当sin2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．此时AO＝DO＝10(m)．故当A、D距离圆心O为10m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.[B.能力提升]1．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的一个θ值是(　　)A.B.C.D.解析：选D.f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，当θ＝时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x为奇函数．2．如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△

6、ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC＝a(a为定值)，∠ABC＝θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积S2，当取得最小值时，角θ的值为(　　)A.B.C.D.解析：选B.由题意得θ∈(0，)，AB＝acosθ，S1＝a2cosθsinθ＝a2sin2θ.设PS＝m，则AP＝mcosθ，BP＝，由AB＝AP＋BP，得mcosθ＋＝acosθ，所以m＝，＝＝＝＋＋1.令t＝sin2θ，θ∈(0，)，则t∈(0,1]，由于y＝＋＋1在(0,1]上为减函数，因此t＝sin2θ＝1，即θ＝时，取得最小值．故选B.3．设p＝

7、cosαcosβ，q＝cos2，则p与q的大小关系是________．　解析：因为p－q＝＝＝≤0，所以p≤q.答案：p≤q4．关于函数f(x)＝sinxcosx－cos2x，给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间(0，)上为增函数；③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；④函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位得到；⑤对任意x∈R，恒有f(＋x)＋f(－x)＝－1.其中正确命题的序号是________．解析：f(x)＝sin2x－＝sin(2x－)－，显然①错；x∈(0，)时，2x－∈(－，0)，函数f(

8、x)为增函数，故②正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得