国外“估算”案例析

《国外“估算”案例析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、国外“估算”案例析　　自2012年第10期以来，本刊连续刊载了关于估算研究的一系列文章。主要内容包括估算方法与策略、估算的意义及其理解、估算教学困难的原因以及估算的育人功能。最后需要研究的是估算内容的课程设计及其教学方面的问题。　　纵观国内外与估算有关的数学课程内容，大致来说有三种类型。第一种类型是在不数（音：shǔ）、不量（音：liáng）的情况下直观估计多少或大小，比如“教室里大约有多少人”或“教室的面积大约是多少平方米”等。第二种类型是把教学重点放在估算方法上，这样的方法大致来说有三种：数据重塑、算式转换和

2、盈亏互补。[1]第三种类型是利用估算解决问题。　　值得注意的是，国外一些关于估算方法的课程内容是与标准算法的课程内容融合在一起的，学生是在不同算法的比较中进行学习的。在利用估算解决问题的课程内容中，有两点值得借鉴，第一是“问题”不仅包括所谓的实际问题，还有数学内部概念理解的问题；第二是问题解决过程中细致的思维活动设计。下面通过几则案例详细说明。　　一、标准算法与估算相互融合　　这里所说的标准算法（StandardAlgorithm）指的是计算过程程序化的算法，通常所说的“竖式算法（VerticalAlgorith

3、m）”7就是一种程序化的算法。这种程序化算法的特点是操作步骤清晰、确定，学习者只要记住了这样的操作步骤，就可以“即使不懂，也能做对”。而且经过反复训练，可以做到“又对又快”。这种教学的弊端在于，在追求结果的正确与过程的迅速的同时，减少了学生应当经历的思维活动，这样当然不利于学生的思维发展。[2]在倡导“育人为本”教学理念的今天，就需要改变这种只通过“结果”和“速度”评价学生计算水平的传统，为此在计算教学中应当提倡算法多样化，并且重视对不同算法的比较，扩充计算过程中的思维含量。　　我国数学课程中也有所谓“先估后算”

4、或“先算后估”的内容，但通常是对计算结果的比较或检验，缺少对不同算法的比较。那么怎样才能使估算与标准算法融为一体呢？下面以全美数学教师协会（NCTM）1986年题为《估算与心算》的年度报告中“437×8”的教学案例为例进行说明。这一教学案例中，针对“437×8”的计算给出了两个问题目标，一个是“求出准确结果”（见图1），另一个是“求出估算结果”（见图2）。　　图1竖式标准算法案例　　图2估算过程案例　　在图1“求出准确结果”的竖式标准算法过程中，强调思考顺序是“自右向左”，也就是从“7×8=56”开始计算，而且用

5、箭头表示出这样的顺序。而在图2“求出估算结果”的计算过程中，指明思考顺序是“自左向右”，即首先计算的是“400×8=3200”，而且说明“3200”就是一个“好（Good）”的估算结果。在此基础上，如果继续计算出“30×8=240”，与前面的3200加起来所得到的3440，就成为了“更好（Better）”的估算结果。7　　这样对比式的教学对学生的学习来说至少有四点好处。第一是可以感受到标准算法与估算在思考顺序上的不同，前者是从最低位数字开始，后者往往是从最高位数字开始思考。第二是可以习得估算方法中数据重塑的高位策

6、略（Frond-end），并且渗透了估算区别于标准算法的两个特征，一是结果的开放性，二是方法的多元化。第三是可以加深对竖式标准算法算理的理解，这个算理实际上就是“位值制”。在“437×8”的竖式标准算法计算过程中，最后一步的计算通常会背诵口诀“四八三十二”，在估算过程中对“400×8=3200”的计算就暗示了竖式标准算法中这一步计算的不是“4×8=32”。第四是让学生感受到了算法多样化，对于过程与方法来说，没有最好，只有更好。　　因此让估算与标准算法摆脱相互独立、非此即彼的对立状态，使之相互融合，应当是数学教学研

7、究的一个课题。　　二、估算用于概念理解　　美国国家教育进步评价协会（NationalAssessment　　ofEducationalProgress）于1980年的一项针对13岁（相当于我国的初中一年级）和17岁（相当于我国的高中二年级）两个年龄组学生的测试中，有这样一个估算问题：“估算+的结果更接近1、2、19、21中的哪一个数？”正确答案应当是“更接近2”7。测试结果令人惊讶，13岁年龄组的正确率仅为24%，17岁年龄组的正确率也只有37%。[3]测试中发现，许多学生都试图利用除法将分数化为小数解决问题。由

8、此反映出学生学习过程中的两个问题，第一是估算意识不强，不管什么情况首先想到的是准确计算；第二是正确率低反映出学生对分数概念以及分数大小关系的理解相对薄弱。因此如何将估算与对数学知识的理解有机结合，就成为了数学教学需要研究的问题。下面关于“分数大小分类”的教学案例就是针对这样的问题设计的（见图3）。　　图3“估算与分数大小分类”案例　　图3案例的教学过程分为两个环节，第一个